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分球怪论与选择公理

发布时间:2019-05-29 02:02 来源:未知 编辑:admin

  1924年塔斯基和斯特凡·巴拿赫合作证明了一个球面可以被切割成有限块后拼接成一个更大的球面,或者和原来球面一样大小的两个球面。现在人们称之为巴拿赫-塔斯基悖论,又名“分球怪论”。

  巴拿赫-塔斯基悖论不同于一般意义上的悖论,它其实是由“选择公理”推出的一条定理,只因为违反直觉才被称为悖论。那么究竟什么是选择公理呢?

  形象地说,选择公理声明:给定一些盒子(可以是无限个),每个盒子中都含有至少一个小球(也可以是无限个),那么可以作出这样一种选择,使得可从每个盒子中恰好选出一个小球。

  看起来很合理是不是?既然每一个盒子是有小球的,当然可以在每个盒子中选择一个小球出来,不论每个盒子的小球数目的多少,和盒子数的多少,“应该”都能做到。

  但在这个盒子中,究竟选择那一个呢?或许有人会说:“随便一个便可!”但什么是“随便”呢?可否具体点陈述出来呢?这个“随便”的方法是否必然存在呢?

  这就很难回答了。不少的数学家也曾尝试用最基本的工具来作证明,但并非一件容易的事,其中一个原因是这个问题牵涉较基层的数学──集合论。而集合论正就是数学的基础理论,所以在证明时,工具也会较少。

  由于很多努力都失败了,数学家们干脆制定了“选择公理”:不管怎么着,反正总能从每个盒子里选出一个小球!

  巴拿赫和塔斯基提出分球怪论的原意是想拒绝“选择公理”,但该证明很自然,因此数学家认为这仅意味着选择公理可以导致少数令人惊讶和反直觉的结果。

  著名哲学家兼数学家罗素曾说过:“在无限双袜子中,每双选择一只出来的话,我们需要‘选择公理’,但如果换成是鞋的话,那便不必了。”

  这是因为鞋是可以分左右的,我们可以选取每双鞋左边的鞋子构成一个具体的选择。而袜子则两只没什么分别,有效的选择只能通过选择公理得到。

  邦拿曾说过:“‘选择公理’明显是正确的;‘良序原理’明显是不正确的;‘佐恩引理’又有谁知道对不对呢?”

  这虽然是一个笑话,但从此可知道人的直觉并不一定跟从数学的思维。在数学上,这三个命题是等价的,但对于“选择公理”,很多数学家都直觉它是正确的;对于“良序原理”,很多数学家都认为存在问题;“佐恩引理”则复杂得很多数学家也不能单凭直觉作判断。

  总而言之,“选择公理”是一条十分争议性的命题,一般的数学家都接受这条公理,因为有许多被普遍接受的数学定理,都需要选择公理来证明,反正使用这公理是没有逻辑矛盾的。但对于逻辑家或集合论家来说,这是一个必须解决的问题。

  有关这条公理的讨论和研究,相信还会继续。就以罗素的话结束本文吧:“起先它似乎是明白的;但你愈多思考它,由这公理得出的推论就好像变得愈奇怪;最后你完全不明白它的意思到底是什么了。”

  用加、减、乘、除和括号,将“1901年1月14日”中的4个数:1,1,14,19进行计算,得到24。

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