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如果一个公理(欧氏几何)能用其他几个公理证明(证明无误不用定

发布时间:2019-06-27 13:56 来源:未知 编辑:admin

  如果一个公理(欧氏几何)能用其他几个公理证明(证明无误,不用定理),这个命题能否称之为公理?

  如果一个公理(欧氏几何)能用其他几个公理证明(证明无误,不用定理),这个命题能否称之为公理?

  如题。还要用必要的代数知识。如:HL公理可用SAS,ASA,SSS证明...

  展开全部从欧几里德《几何原本》建立公理化体系以后,数学上各个分支都进行了公理化处理,在这些方面像希尔伯特等人都付出过很大的努力。(在数学哲学上从公理化体系出发,形成了一个哲学流派叫逻辑主义。)对数学的公理化处理由一个很好的好处就是,一个分支可以用几个简单的定义和公理就可以把所有的知识都推到出来了。公理化处理是一件伟大的事情,也是一件及其艰难的事情。比如现代微积分的逻辑基础的建立是在微积分基本成熟的50后才是的。整个系统的建立又花去了近百年的时间。

  作为公理系统中的公理需要满足两个基本的条件,一是要独立性,二是要完备性。独立性就是说这个公理必须是独立的,不能被其他公理或定义推到出来,如果可以被推出的,那么它就可以从这个公理体系中删除。其次所谓完备性,就是公理体系(一个学科)中的所有定理、结论可以也只需被公理系统中的公理所推到,不能存在不能被推到的结论,如果存在,则应该重新构建这个公理体系(或者说要把这个结论加入,或者删除,或者以条件限制)。同时也存在这样的一个问题,一个学科中存在着两个或两个以上的公理,可以相互证明,则这样的公理是等价的。数学上的处理方法是把一个作为基础(公理),另外一个作为导出结论。至于那个作为公理,那是可以按照个人的爱好的。

  比如欧几里德的《几何原本》,一开始欧几里德就劈头盖脸地给出了23个定义,5个公设,5个公理。其实他说的公社就是我们后来所说的公理,他的公理是一些计算和证明用到的方法(如公理1:等于同一个量的量相等,公理5:整体大于局部等)他给出的5个公设倒是和几何学非常紧密的,也就是后来我们教科书中的公理。分别是:

  公设1:任意一点到另外任意一点可以画直线:一条有限线:以任意点为心及任意的距离可以画圆

  公设5:同平面内一条直线和另外两条直线相交,若在某一侧的两个内角和小于二直角的和,则这二直线经无限延长后在这一侧相交。

  在这五个公设理里,欧几里德并没有幼稚地假定定义的存在和彼此相容。亚里士多德就指出,头三个公设说的是可以构造线和圆,所以他是对两件东西顿在性的声明。事实上欧几里德用这种构造法证明很多命题。第五个公设非常罗嗦,没有前四个简洁好懂。声明的也不是存在的东西,而是欧几里德自己想的东西。这就足以说明他的天才。从欧几里德提出这个公理到1800年这大约2100年的时间里虽然人们没有怀疑整个体系的正确性,但是对这个第五公设却一直耿耿于怀。很多数学家想把这个公设从这个体系中去掉,但是几经努力而无果,无法从其他公设中推到处第五公设。

  同时数学家们也注意到了这个公设既是对平行概念的论述(故称之为平行公理)也是对三角形内角和的论述(即内角和公理)。高斯对这一点是非常明白的,他认为欧几里德几何式物质空间的几何,1799年他说给他的朋友的一封信中表现了他相信平行公里不能从其他的公设中推导出来,他开始认真从事开发一个新的能够应用的几何。1813年,发展了他几何,最初称为反欧氏几何,后称星空几何,最后称非欧几何。在他的几何中三角形内角可以大于180度。当然得到这样的几何不是高斯一人,历史上有三个人。一个是他的搭档,另一个是高斯的朋友的儿子独立发现的。其中一个有趣的问题是,非欧氏几何中过直线外一点的平行线可以无穷。

  不久之后,俄国的一位著名数学家也发现了一个新的非欧几何,即罗氏几何。他的三角形内角和是小于180度的。

  展开全部你所问的是有关公理体系的问题。所谓公理体系是指某一个学科的基本假设,比如,欧氏几何的公理体系就是它的5个基本公设,其中的第5公设——也就是平行公设——在非平面几何中存在矛盾,但欧几里德本人似乎也意识到该公设的不完备性,就连自己证明定理时也都尽量避免使用它。

  在某一学科的公理体系中,公理都是不证自明,不需要规范,不需要制定的。体系内部的各公理之间不存在可以互相证明或证伪的关系,它们对整个学科形成都是充分且必要的。在公理的基础上制定的命题称为定理。

  当然,对于某个形式系统而言,公理体系也并非完备的,在这个系统中总是存在着既不能被证明也不能被证伪的不可判定命题。如果将这个不可判定的陈述作为一条公理添加到系统中,则新的系统仍然存在着它自己的不可判定陈述。这就是哥德尔不完备性定理的全部内容。

  P.S. 如果你对数学研究感兴趣,推荐你看哥德尔早期的著作。逻辑是做一切科学研究的基础。

  只能用逻辑顺序在它前面得公理证明.可以吧,不过最起码几何原本中没有这样的赘笔

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