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怎么由选择公理证明良序原理

发布时间:2019-08-14 00:03 来源:未知 编辑:admin

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  2017-01-09展开全部「选择公理」(Axiom of Choice)对一般人来说,也许从来没有听过;即使是对念数理科的学生来说也可能从来未接触过,多是听多於用。但这条「选择公理」却是一条困扰整个数学界多年的公理,而它的合理性方面,至今也没有一个定论。有些人认为它是明显之至,简单得很。但当细味其内容及其用途时,不单发现它妙用无穷,而且会开始质疑自己对这条公理的理解程度,甚至开始怀疑这条公理的真确性。「选择公理」便是如此的一条令人迷惑的公理,现在我们一同看看它究竟是甚么。

  「选择公理」有很多等价的形式(equivalent form),以下用一个较简单的描述:

  选择公理设C为一个由非空集合所组成的集合。那么,我们可以从每一个在C中的集合中,都选择一个元素来组成一个新的集合。

  1. 如果C为{1,2,3,…}的所有非空子集的集合,那么,我们可以定义一个新集合,使得它的元素为每一个在C中的集合的最小元素。

  2a. 如果C为所有长度有限而非零的实数区间,那么,我们可以定义一个新集合,使得它的元素为每一个C中的区间的中间点。

  看来也算是合理,但以上的例可能较数学化、较难理解,现在再用个较实在的例子,

  3a. 如果在前面放了放置了几堆苹果。那么,我们可以在每堆中选取一个苹果,再把它们放在新的一堆内。

  看了这个例子,可能令你更加明白,不过要留意的是所谓「几堆」,可能是无限堆,而每堆苹果也可能是有无限个的,那么,可以换成

  3b. 如果在前面放了放置了无限堆苹果,而每堆苹果也有无限个。那么,我们可以在每堆中选取一个苹果,再把它们放在新的一堆内。

  这个便是「选择公理」。看来也很合理,既然每一堆也是有苹果的,当然可以在每一堆中选择一个苹果出来,不论每堆的苹果数目的多少,和堆数的多少,「应该」也能做到。

  但在这堆苹果中,究竟选择那一个呢?或许有人会说:「随便一个便可!」但甚么是「随便」呢?可否具体点陈述出来呢?这个「随便」的方法是否必然存在呢?如果数学化点看问题,根据「选择公理」,

  2b. 如果C为所有长度非零的实数区间,那么,我们可以定义一个新集合,使得它的元素为每一个C中的区间中的点。

  如果仔细的看2b,「每一个C中的区间中的点」,那一点呢?最大的那一点?最小的那一点?中间的那一点?通通也不存在,因为「长度非零的实数区间」是包括了长度无限的区间,那便可能没有了所谓「最大」、「最小」或「中间」等概念。那么,如何具体地陈述出方法呢?这个方法会不会不存在呢?

  可能有人认为,即使是不能陈述出方法,也不能否定或放弃这公理,因为在数学上有很多「存在性定理」(Existence Theorems),都是只指出某事件的存在性,而不能具体描述寻求的方法,例如:中值定理(Mean Value Theorem)及洛尔定理(Rolles Theorem),都是已证明是真确的存在性定理,所以只要能证明这公理是真确,便可以继续使用。

  另外,不能具体陈述出方法,也有可能是括限於人类在语言上的障碍,也即是说,只是不能用人类的语言表达而已,正如最伟大的文学家,也只是用他们认为最适当的语句来表达,可能受到语言限制,不能完全反映他们内心的思想,正所谓「不能言喻」。

  但「选择公理」当然不是这般简单,它的不可思议,它的奇妙用法,以及它所导致的结果,到现在才是开始。

  要证明选择公理,并非一件容易的事,其中一个原因是选择公理不单是一条简单的数学命题,而是牵涉较基层的数学──集合论。而集合论正就是数学的基础理论,所以在证明时,工具也会较少。

  不少的数学家曾也尝试证明选择公理,他们希望用最基本的工具来作证明,但往往在这些证明中,都用了一些并不基本的理论,例如:「良序原理」(Well-ordering Principle)及「佐恩引理」(Zorns Lemma),

  良序原理所有集合也是良序集。换句话说,对每一个集合来说,都存在一种排序方法,使得它的所有子集也有极小元素。

  佐恩引理若一偏序集是归纳序集,那么,它必然存在最大元素。换句话说,如果在一个偏序集的每一条鍊中都存在著上界,这偏序集必存在最大元素。

  这些理论,即使只是从字面的解释,也不容易判断它的真确性,而事实上,「良序原理」及「佐恩引理」是不能用基本工具证明的。直至现时为此,也没有人能用基本工具来证明「选择公理」。

  更有趣的结果是原来「选择公理」、「良序原理」及「佐恩引理」都是等价的命题,也就是说它们是在描述同一样的事件。多年以来,所发现的「选择公理」的等价命题实在不少,网主并没有统计过,某些的书籍可写出约30个等价命题,网主亦搜集了部分等价命题(英文版)可供网友参考,而人类只是在这些命题与命题间兜兜转转。

  由此可知,要在数学上证明或否证「选择公理」并非易事,所以数学家便转移目标,从逻辑系统中看看它的相容性。而事实上,经证明所得,现在我们常用的ZF公理系统与「选择公理」是相容的,也就是说用ZF公理系统不能得出「选择公理」的逻辑矛盾。如果我们选择接纳「选择公理」,则便有一套包含「选择公理」的公理系统,一般称「ZFC公理系统」;否则,便不接纳它在公理系统之内,在能把它证明之前,也不能接受它是一「定理」。

  不过,这个争论依然未完,因为对於这条公理不只是接纳和不接纳的问题,如果放弃这条公理,有很多美好且乎合「常理」的结果会同时被放弃;但它实际上又与很多「常理」大不协调。

  其中一个为人熟识的不合乎常理的结果是「巴拿赫─塔斯基誖论」(Banach-Tarski Paradox),或称「分球问题」。这个誖论可以说是违反了物理学定律,因为这个誖论说可以把一个单位球体(半径为1)分成有限份,最少可分成五份,然後透过一些刚体运动,即旋转和平移,再重新组合,不过在组合後,竟然成为两个单位球体,也即是体积增加了一倍,而这个誖论的证明是必须利用到「选择公理」的。也就是说,如果我们选择接纳「选择公理」,则「巴拿赫─塔斯基誖论」便是一条定理,但现实中有这个可能吗?

  这其实也是牵涉另一个数学概念──可测集合(Measurable Set)。「巴拿赫─塔斯基誖论」便是存在不可测集合的结果。如果我们接纳「选择公理」,则我们必须接纳不可测集合。若我们不接纳「选择公理」,则可设所有集合皆是「勒贝格可测的」(Lebesgue Measurable),而这个假设也可能是较合乎常理。

  总括而言,「选择公理」是一条十分争议性的命题,一般的数学家都接受这条公理,因为可以从而得出很多有用的结果,反正使用这公理是没有逻辑矛盾的。但对於逻辑家或集合论家来说,这是一个必须解决的问题,有些人会建议用较弱的「可数选择公理」(Countable Choice)来代替,而确实有很多结果是可以利用可数选择公理来证明的,不过这样只是暂时回避问题,而且依然有些结果是必须用到「选择公理」的。

  著名哲学家兼数学家罗素(Bertrand Russell)曾说过:「由无限对袜子中,每对选择一只出来的话,我们需要『选择公理』,但如果换转是鞋的话,那便不必了。」因为鞋是可以分左右的,袜子则两只没甚么分别,不知如何选择。另外,如果只得有限对袜子,在逻辑上是可以不用「选择公理」的。

  邦拿(Jerry Bona)也曾说过:「『选择公理』明显是正确的;『良序原理』明显是不正确的;『佐思引理』又有谁可决定呢?」这个虽然是一个笑话,但从此可知道人的直觉并不一定跟从数学的思维。在数学上,这三个命题是等价的,但对於「选择公理」,很多数学家也直觉它是正确的;对於「良序原理」,很多数学家也认为存在问题;对於「佐思引理」则复杂得很多数学家也不能单凭直觉作判断。

  「选择公理」确是一条谜样的公理,虽然看似十分显浅,但却有奇妙的功能,甚至有超乎常理的结果。有些人对它投以信任一票,有些人则抱怀疑态度。有关这条公理的讨论和研究,相信还会继续,那便看看数学家如何把它解决。最後,网主用罗素的一句话作结束,他在谈及「选择公理」时曾说:

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