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常见的数学公理体系有哪几个?它们的主要特点是什么?

发布时间:2019-09-14 23:37 来源:未知 编辑:admin

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  数学上,一个公理系统(或称公理化系统,公理体系,公理化体系)是一个公理的集合,从中一些或全部公理可以用来一起逻辑的导出定理。一个数学理论由一个公理系统和所有它导出的定理组成。一个完整描述出来的公理系统是形式系统的一个特例;但是通常完全形式化的努力带来在确定性上递减的收益,并让人更加无法阅读。所以,公理系统的讨论通常只是半形式化的。一个形式化理论通常表示一个公理系统,例如在模型论中表述的那样。一个形式化证明是一个证明在形式化系统中的表述。[1]

  一个公理系统称为自洽(或称相容、一致性),如果它没有矛盾,也就是说没有从公理同时导出一个命题及其否定的能力。

  在一个公理系统中,一个公理被称为独立的,若它不是一个从系统的其它公理可以导出的定理。一个系统称为独立的,若它的每个公理都是独立的。

  虽然独立性不是一个系统的必要需求,自洽性却是必要的。一个公理系统称为完备的,若每个命题都可以导出或其否定可以导出。

  公理系统的数学模型是一个定义严谨的集合,它给系统中出现的未定义术语赋予意义,并且是用一种和系统中所定义的关系一致的方式。具体模型[2] 的存在性能证明系统的自洽。

  模型也可以用来显示一个公理在系统中的独立性。通过构造除去一个特定公理的子系统的正确模型,我们表明该省去的公理是独立的,若它的正确性不可以从子系统得出。

  两个模型被称为同构,如果它们的元素可以建立一一对应,并且以一种保持它们之间的关系的方式。一个其每个模型都同构于另一个的公理系统称为范畴式的,而可范畴化的性质保证了系统的完备性。

  公理化方法经常被作为一个单一的方法或着一致的过程来讨论。以欧几里得为榜样,它确实在很多世纪中被这样对待:直到19世纪初叶,在欧洲数学和哲学中古希腊数学的遗产代表了智力成就(在几何学家的风格中,更几何的发展)的最高标准这件事被视为理所当然(例如在斯宾诺莎的著作中所述)。

  这个传统的方法中,公理被设定为不言自明的,所以无可争辩,这在19世纪逐渐被扫除,这是随着非欧几何的发展,实分析的基础,康托的集合论和弗雷格在数学基础方面的工作,以及希尔伯特的公理方法作为研究工具的“新”用途而发生的。例如,群论在该世纪末第一个放到了公理化的基础上。一旦公理理清了(例如,逆元必须存在),该课题可以自主的进展,无须参考这类研究的起源—变换群。

  所以,现在在数学以及它所影响的领域中至少有3种“模式”的公理化方法。用讽刺描述法,可能的态度有:

  第一种情况定义了经典的演绎方法。第二种采用了博学点,一般化这个口号;它和概念可以和应该用某种内在的自然的广泛性来表达的假设是一致的。第三种在20世纪数学中有显著的位置,特别是在基于同调代数的课题中。很显然公理化方法在数学之外是有局限性的。例如,在政治哲学中,导致不可接受的结论的公理很可能被大量拒绝;所以没有人真的统一上面的第一个版本。

  若两条直线都与第三条直线相交,并且在同一边的内角之和小于两个直角,则这两条直线在这一边必定相交。

  2.每一个确定的自然数a,都有一个确定的后继数a ,a 也是自然数(一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数,例如,0的后继数是1,1的后继数是2等等);

  5.任意关于自然数的命题,如果证明了它对自然数0是对的,又假定它对自然数n为真时,可以证明它对n 也真,那么,命题对所有自然数都真。(这条公理也叫归纳公理,保证了数学归纳法的正确性)

  第一公理 对于任意一个集合Ein mathfrak{F}, 即对于任意的事件P(E)in [0,1]。即,任一事件的概率都可以用0到1区间上的一个实数来表示。

  第二公理 P(Omega) = 1., 即,整体样本集合中的某个基本事件发生的概率为1。更加明确地说,在样本集合之外已经不存在基本事件了。 这在一些错误的概率计算中经常被小看;如果你不能准确地定义整个样本集合,那么任意子集的概率也不可能被定义。

  第三公理 任意两两不相交事件E_1, E_2, ...的可数序列满足P(E_1 cup E_2 cup cdots) = sum P(E_i)。 即, 不相交子集的并的事件集合的概率为那些子集的概率的和。这也被称为是σ可加性。如果存在子集间的重叠,这一关系不成立。

  牛顿第一定律:任何一个物体在不受外力或受平衡力的作用时,总是保持静止状态或匀速直线运动状态,直到有作用在它上面的外力迫使它改变这种状态为止。

  牛顿第二定律:在惯性系中,物体的加速度跟物体所受的合外力成正比,跟物体的质量成反比,加速度的方向跟合外力的方向相同。

  牛顿第三定律:两个物体之间的作用力和反作用力,在同一直线上,大小相等,方向相反。

  十九世纪末到二十世纪初,数学已发展成为一门庞大的学科,经典的数学部门已经建立起完整的体系:数论、代数学、几何学、数学分析。数学家开始探访一些基础的问题,例如什么是数?什么是曲线?什么是积分?什么是函数?……另外,怎样处理这些概念和体系也是问题。

  经典的方法一共有两类。一类是老的公理化的方法,不过非欧几何学的发展,各种几何学的发展暴露出它的许多毛病;另一类是构造方法或生成方法,这个办法往往有局限性,许多问题的解决不能靠构造。尤其是涉及无穷的许多问题往往靠逻辑、靠反证法、甚至靠直观。但是,哪些靠得住,哪些靠不住,不加分析也是无法断定的。

  对于基础概念的分析研究产生了一系列新领域—抽象代数学、拓扑学、泛函分析、测度论、积分论。而在方法上的完善,则是新公理化方法的建立,这是希尔伯特在1899年首先在《几何学基础》中做出的。

  十九世纪八十年代,非欧几何学得到了普遍承认之后,开始了对于几何学基础的探讨。当时已经非常清楚,欧几里得体系的毛病很多:首先,欧几里得几何学原始定义中的点、线、面等不是定义;其次,欧几里得几何学运用许多直观的概念,如“介于……之间”等没有严格的定义;另外,对于公理系统的独立性、无矛盾性、完备性没有证明。

  在十九世纪八十年代,德国数学家巴士提出一套公理系统,提出次序公理等重要概念,不过他的体系中有的公理不必要,有些必要的公理又没有,因此他公理系统不够完美。而且他也没有系统的公理化思想,他的目的是在其他方面——想通过理想元素的引进,把度量几何包括在射影几何之中。

  十九世纪八十年代末期起,皮亚诺和他的学生们也进行了一系列的研究。皮亚诺的公理系统有局限性;他的学生皮埃利的“作为演绎系统的几何学”(1899),由于基本概念太少(只有“点”和“运动”)而把必要的定义和公理弄得极为复杂,以致整个系统的逻辑关系极为混乱。

  希尔伯特的《几何学基础》的出版,标志着数学公理化新时期的到来。希尔伯特的公理系统是其后一切公理化的楷模。希尔伯特的公理化思想极深刻地影响其后数学基础的发展,他这部著作重版多次,已经成为一本广为流传的经典文献了。

  希尔伯特的公理系统与欧几里得及其后任何公理系统的不同之处,在于他没有原始的定义,定义通过公理反映出来。这种思想他在1891年就有所透露。他说:“我们可以用桌子、椅子、啤酒杯来代替点、线、面”。当然,他的意思不是说几何学研究桌、椅、啤酒怀,而是在几何学中,点、线、面的直观意义要抛掉,应该研究的只是它们之间的关系,关系由公理来体现。几何学是对空间进行逻辑分析,而不诉诸直观。

  希尔伯特的公理系统包括二十条公理,他把它们分为五组:第一组八个公理,为关联公理(从属公理);第二组四个公理,为次序公理;第三组五个公理;第四组是平行公理;第五组二个,为连续公理。

  希尔伯特在建立公理系统之后,首要任务是证明公理系统的无矛盾性。这个要求很自然,否则如果从这个公理系统中推出相互矛盾的结果来,那么这个公理系统就会毫无价值。希尔伯特在《几何学基础》第二章中证明了他的公理系统的无矛盾性。这次,他不能象非欧几何那样提出欧氏模型,他提出的是算术模型。

  实际上,由解析几何可以把点解释为三数组(可以理解为坐标(x、y、z)),直线表示为方程,这样的模型不难证明是满足所有20个公理的。因此,公理的推论若出现矛盾,则必定在实数域的算术中表现出来。这就把几何学公理的无矛盾性变成实数算术的无矛盾性。

  其次,希尔伯特考虑了公理系统的独立性,也就是说公理没有多余的。一个公理如果由其他公理不能推出它来,它对其他公理是独立的。假如把它从公理系统中删除,那么有些结论就要受到影响。希尔伯特证明独立性的方法是建造模型,使其中除了要证明的公理(比如说平行公理)之外其余的公理均成立,而且该公理的否定也成立。

  由于这些公理的独立性和无矛盾性,因此可以增减公理或使其中公理变为否定,并由此得出新的几何学。比如平行公理换成其否定就得到非欧几何学;阿基米德公理(大意是一个短线段经过有限次重复之后,总可以超出任意长的线段)换成非阿基米德的公理就得到非阿基米德几何学。希尔伯特在书中详尽地讨论了非阿基米德几何学的种种性质。

  希尔伯特对初等几何公理的无矛盾性是相对于实数的无矛盾性,因此自然要进一步考虑实数系的公理化及其无矛盾性,于是首当其冲的问题是算术的公理化。

  数学,顾名思义是一门研究数的科学。自然数和它的计算——算术是数学最明显的出发点。历史上不少人认为,所有经典数学都可以从自然数推导出来。可是,一直到十九世纪末,却很少有人解释过什么是数?什么是0?什么是1?这些概念被认为是最基本的概念,它们是不是还能进一步分析,这是一些数学家关心的问题。因为一旦算术有一个基础,其他数学部门也就可以安安稳稳建立在算术的基础上。

  什么东西可以做为算术的基础呢?在历史上有三种办法:康托尔的基数序数理论,他把自然数建立在集合论的基础上,并把自然数向无穷推广;弗雷格和罗素把数完全通过逻辑词汇来定义,把算术建立在纯逻辑的基础上;用公理化的方法通过数本身的性质来定义,其中最有名的是皮亚诺公理。

  在皮亚诺之前,有戴德金的公理化定义。他的方法是准备向有理数、实数方面推广,为数学分析奠定基础。他们也都注意到逻辑是基础,但都有非逻辑公理。

  1888年,戴德金发表《什么是数,什么是数的目的?》一文,阐述他的数学观点。他把算术(代数、分析)看成逻辑的一部分,数的概念完全不依赖人对空间、时间的表象或直觉。他说“数是人类心灵的自由创造,它们做为一个工具,能使得许许多多事物能更容易、更精确地板掌握”。而创造的方法正是通过逻辑。他的定义是纯逻辑概念——类(System),类的并与交,类之间的映射,相似映射(不同元素映到不同元素)等等。通过公理定义,戴德金证明数学归纳法。但是他没有能够直接从纯逻辑名词来定义数。

  1889年,皮亚诺发表他的《算术原理:新的论述方法》,其中明显地做了两件事:第一,把算术明显地建立在几条公理之上;第二,公理都用新的符号来表达。后来皮亚诺刻划数列也同弗雷格一样是从0开始,但是他对数的概念也同戴德金一样,是考虑序数。

  皮亚诺的兴趣主要在于清楚地表述了数学结果,他编制的数理逻辑符号(1894年发表于《数学论集》)也主要是如此,而不是为了哲学分析。1900年罗素从皮亚诺学习这套符号之后,才对逻辑、哲学同时也对数学产生了巨大冲击。

  从1894年到1908年,皮亚诺接连五次出版了《数学论集》的续集,每一次都把他提出的五个公理(只是用0代1)作为算术的基础。但是皮亚诺除了逻辑符号之外,还有其他三个基本符号,即:数、零、后继。因此,他还不象弗雷格及罗素那样把数完全建立在逻辑基础上。

  他的公理系统也是有毛病的,特别是第五公理涉及所有性质,因此须要对性质或集合有所证明。有人把它改为可数条公理的序列,这样一来,由公理系所定义的就不单纯是自然数了。斯科兰姆在1934年证明,存在皮亚诺公理系统购非标准模型,这样就破坏了公理系统的范畴性。

  在十九世纪末到二十世纪初的公理化浪潮中,一系列数学对象进行了公理化,这些公理化一般在数学中进行。例如由于解代数方程而引进的域及群的概念,在当时都是十分具体的,如置换群。只有到十九世纪后半叶,才逐步有了抽象群的概念并用公理刻划它。群的公理由四条组成,即封闭性公理、两个元素相加(或相乘)仍对应唯一的元素、运算满足结合律、有零元素及逆元素存在。

  群在数学中是无处不在的,但是抽象群的研究一直到十九世纪末才开始。当然,它与数理逻辑有密切的关系。有理数集体、实数集体、复数集体构成抽象域的具体模型,域的公理很多。另外,环、偏序集合、全序集合、格、布尔代数,都已经公理化。

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