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《集异璧之大成》阅读笔记及杂谈(八)

发布时间:2019-07-01 12:36 来源:未知 编辑:admin

  开始书中的原文之前想先说说关于“逻辑”个什么东西,这样听起来似乎口气太大了(也确实是这样)。但是当这个问题被注意到的时候就会发现,它似乎真的无处不在。我们往往会忽略它,因为它不是太常见就是太高深,和那些寻常的“值得讨论的问题”有那么一点不一样。

  其实涉及到“基础层次”的主题讨论基本都是这样,比如说生物学中涉及基因范畴的、物理学当中基本粒子范畴的、数学当中的数论、逻辑学中的逻辑推理范畴、音乐学涉及到的声学(这里还和物理学挂钩)、语言学中涉及符号学范畴的内容(所有语言当中关于单字的最基础单位)能举出来的例子有很多很多。当然这种高低落差极大的感觉是对于那些不是这方面专门领域的普通人来说的,那些专业的行家里手自然是有不一样的感触。(笔者自己其实也是个门外汉)。

  逻辑一词起源于希腊文的“逻各斯”,在原本的希腊语当中有“话语”的意思,但是同时还包含了很多层面的意义:一方面来说它表示语言、演说、交谈、故事、原则等含义;另一方面,它也代表了理性、思考、计算、关系、因果、类推等等。(这个词到现在发展出了:逻各斯中心主义,有兴趣的人可以自己去查阅了解一下,这里暂时不说太多了)。

  传统意义上,逻辑被当作哲学的一个分支来研究,和“文法”与“修辞”并列为古典三学科。

  之后“逻各斯”一词经过了法语的翻译再进一步发展,最后成为了英文中的“logic”。中文直接音译过来就是:“逻辑”一词。这个词最早进入中国的时候有过不同的翻译,有翻译成“名学”、“论理”、“理则”。一直到当代中文,就直接采取了音译的方式“逻辑”。

  照本宣科地来解释,逻辑可以理解为是:“推论和证明的思想过程”。逻辑学的研究就是关于“有效推论和证明的原则与标准”的一门学科。它可以算作是一门形式科学,逻辑通过对推论的形式系统于自然语言中的论证等来研究并分类命题与论证的结构。(相信阅读GEB的各位都应该有注意到了,整本书通篇充斥的大量主题其实就是关于这二者的形式系统和自然语言)。

  “形式逻辑”可以算作是数学的基础,同时因为涉及到大量符号关系,也就被叫做“符号逻辑”。还记得之前在导言部分提到的数学家怀海德和罗素合著的巨著《数学原理》一书,就是试图把形式逻辑建立成数学的基石(结果被哥德尔不完备性定理给毁了大半,而且在那之后集合论取代了其中除了基础的大部分系统)形式逻辑在数学的领域当中不断扩张,也就不再仅限于一些基础的议题了,所有在数学中涉及到的部分都可以被叫做:“数理逻辑”。

  形式逻辑还被发展和应用到了计算机科学领域中,并成为其中的基础;莱布尼茨、希尔伯特、哥德尔等人都是这一发展过程中的重要人物。(GEB一书的主题始终还是以人工智能的发展为主要的内容,所以计算机科学发展的这一部分,这些人物和内容基本都要被提及到。后面还会有关于他们的详细内容)。

  在哲学的发展中,逻辑学也随之发展,到目前为止也建立起来了一套完整的系统。简单可以归类为四种基本原理和四种性质。

  1同一律:事物跟其自身相等同,“自己”不能“不是自己”。

  2无矛盾律:事物不能同时“是”跟“不是”。是就是,不是就不是。

  3排中律:事物只能有“是”或“不是”两种状态,不存在其他中间状态。

  1有效性:依系统的推理规则,如果所有前提都为真则结论必为真(保真)。所有命题的前提都“语义蕴含结论”。

  2自洽性:系统中任一定理都不与其他定理相矛盾。不存在命题P,P和非P都可以在系统中证明。

  3可靠性:系统中所有定理(有效且可证明的命题)皆为真。(哥德尔不完备性定理证明在系统中,可靠性与完备性互为逆命题)。

  4完备性:系统中不存在无法证明或证否的有效命题。系统中真命题都可以证明(真命题就是定理)且假命题都可以证否。

  回过头来看看,书中一直在提到“形式系统”,为什么一直在强调形式?因为形式是逻辑的核心,其概念来自于哲学范畴,在古希腊哲学中形式的概念与质料相对应,用来描述事物的本质,被称为“第一实体”。形式与质料共同成为亚里士多德“实体论”的一部分,对后世的哲学发展产生重大的影响。同时亚里士多德也将逻辑建立成一门正式的学科,在哲学中给了“逻辑”一个基本的位置(亚里士多德的三段论)。

  今天对于“形式逻辑”中的“形式”时常使用的不太明确,因此阐述形式变得很令人费解。形式逻辑可以分为两个类型,其一为符号逻辑:在捕获了逻辑推论的形式特征之后,把概念转化为抽象符号来进行研究(有没有人联想到前面形式系统里一直提到的字符串)。另一种形式逻辑是只处理直言命题的三段论,也可以叫做传统逻辑或词项逻辑。这由亚里士多德发展而来,叫做传统逻辑是因为刚刚开创逻辑学的时候尚没有严谨的准确术语,于是就用这个比较宽松的术语,一直到十九世纪,出现谓词逻辑(就是符号逻辑,有一阶逻辑、二阶逻辑、多类逻辑、无穷逻辑)。

  符号逻辑进一步的在其他领域延伸就出现了数理逻辑,数理逻辑是对模型论、证明论、集合论和递归论的研究(之前有提到一部分这类的内容)。

  同时形式逻辑之外也有非形式逻辑,是专门研究自然语言论证的一门学科,对谬论的研究是其中一个非常重要的例子。比较有代表性的是柏拉图作品。逻辑产生于对论证正确性的关注,谬论这一块就是一个完全相反的例子,他们研究的是不争取的论证所产生的一系列问题和影响。

  逻辑同时还涉及到演绎和归纳,也就关注给定的前提下可以得出什么(正确的得出),这就是前面形式系统当中公理-规则-定理的构架。同时还有进一步的归纳推理(从观察中推论出可靠广义化的过程),归纳推理最明显的例子是之前提到过的关于欧几里得证明素数的那个例子。同时这也带来了数论当中很多的疑问(能否正确可靠的推广),比如说哥德巴赫猜想,这是一种让推理可以“机械化”、“自动化”的过程。

  逻辑学在文明发展的早期就已经开始萌芽,在古埃及和巴比伦都发现了逻辑学的启蒙,但是现在的逻辑学都是诞生于古希腊时期,同时印度和中国在此之外也独立发展了逻辑学。中国古代逻辑学的典型代表是墨家,在晚期墨家中的一批人已经开始研究形式逻辑,不过很可惜的是由于时代变迁没有来得及形成完整体系,而汉朝实行“罢黜百家、独尊儒术、外儒内法”,这导致了逻辑学研究的停滞,一直到后来印度逻辑学随着佛教传入中国。

  这一次这篇对话的内容题目叫做《半音阶幻想曲及互格》,这个题目来自于巴赫的同名作品《半音阶幻想曲及赋格》。当然除了题目之外,对话和巴赫的音乐作品倒是没有是那么太大的关系。不过这一篇对话可以和《二部创意曲》的那篇对话对应起来来看,那篇对话并不是侯世达原创,而是刘易斯卡罗尔写的(前面的笔记里说过一遍了)。

  两篇对话能对应起来看是因为,这两篇对话都涉及到了语言当中的逻辑问题,是否存在语义当中的规则规范,用简介的话来说:“它涉及了处理句子以及保存真值的适当方法具体的说就是是否存在并且一词的用法规则问题。”回想回想二部创意曲的内容,也许可以发现一些什么,这就是为什么这个说明对比要放在对话内容之前来说一说。

  我们来回顾回顾上一篇对话,刘易斯卡罗尔的这篇乌龟和阿基里斯的对话,是一个关于推理、推理的推理、推理的推理的推理等等之间的关系。简单来说就是在逻辑推演当中引入了芝诺的二分法悖论,这就造成了推理当中的无穷回归。芝诺的悖论是一个优美的悖论,用来解释关于运动不可能性的悖论。这个悖论被引用进逻辑,就产生了推理不可能性的悖论。这是一个非常有意思的想法,在之后还会反复出现。

  再来看一看侯世达这篇有关联性的对话,乌龟在语言逻辑当中也玩了一点小花样,结果把阿基里斯带到了语言逻辑的陷阱里面去。简单来说就是关于用词逻辑的正确性,谁规定了用词,比如对话里的“并且”是这样用或者那样用的。乌龟说了一句看似自相矛盾的话却否认了(不以规范正常的方式使用一个规范正常的词注意这里有两个规范正常。),它让阿基里斯把这个语言逻辑的“规范性”(为什么要用规范正确的方式用规范正确的词,不能够用不规范正常的方式用规范正常的词,或者反之这里有点绕口)说个明白,结果阿基里斯发现自己似乎给不出一个足够可靠的证明来理顺这个关于“规范正确”语言逻辑的问题。

  到这里相信大家可以看出一点端倪来了,为什么要把这两篇对话的内容联系到一起来看。可以看到二者的相似之处。前者是证明到给出结论之间似乎存在着无限个证明的节点(证明的证明),结果到后来证明到达不了结论。后者用语言用词的方式发现逻辑当中关于规范自身的问题似乎说不清楚,规范到一定程度之后就没有依据了(逻辑规范肯定有框架,然而这个框架到了一定程度之后有效性就不行了)。结果就是到最后除了说:“我就是知道这是对的。”之外就说不出个所以然了,结果逻辑走到了头却不能依靠理性推论而只能依靠信仰了(宗教的)。

  这两个例子似乎都可以联系到哥德尔不完备性定理的内容上面来,全都涉及到自指产生的矛盾当中来。这是非常有意思的,逻辑构建的形式系统始终受困于这些东西而没有办法进一步发展了,那么我们的大脑和思维又是怎么一回事呢?(书中后面的内容还会有详细的论述,在这里笔者仅仅是做了一个联想)。

  咱们可以继续以看故事的方式接着看下去,阿基里斯正巧在经过池塘的时候遇上了乌龟。乌龟在池塘里涮自己的身子,而且还爬出来甩了甩水珠(这是书里的这么说的,可这怎么看更像是一只狗狗的动作,而不像是个乌龟的。当然确实有的乌龟贝壳上是长毛的,挺有意思)

  乌龟向阿基里斯打招呼,然后说起一件一直想要和阿基里斯分享的事情。不过阿基里斯倒是表现出了警惕:“只要你龟兄别琢磨把我诱入某个恶意的逻辑圈套,我就愿意听听。”结果事实证明阿基里斯的预感是对的,乌龟就在那里挖了一个逻辑坑等着他往前跳。

  这里直接引用原文,可以看出来乌龟那种有点坏坏的语气。(这里插一句,这种描述对话放在理论讨论的前面还是挺有想法的,不能一直是特别严肃的论述容易让人疲劳。加入一点趣味性的东西更加能让人集中注意力,只不过国内课堂上的氛围始终还是太严肃了点)

  “恶意的全套?哎呀,你错怪我了。我哪会有什么恶意?我是个安份的人,从来不打扰别人,成天文邹邹的,吃点草过日子而已(这是兔子吧)。我的脑袋里全是关于事物本性(从我的角度去看)的那些稀奇古怪的东西。我,谦恭的现象观察者,慢吞吞的边走边喷些傻话到空气中去,一点也不惊人。不过,为了让你对我的用意放心,今天只打算谈谈我的龟壳。你知道,这些事和逻辑没有任何哪怕是一点点关系!”(自然语言本身就是形式逻辑的体现,乌龟这里就开始玩花样了,只不过埋得挺深,一个不留神可能就忽视了)。

  阿基里斯结果就忽视了这部分问题,他继续了对话,于是他就说想要听听乌龟打算说点什么。乌龟就说,他们就来讨论讨论它的龟壳。那么阿基里斯就礼貌的说了一句,乌龟的乌龟壳挺干净的。

  乌龟说:“我刚去游了泳,洗掉了几层上个世纪积存下来的污垢。现在你可以看到我的壳是多么绿了。”(“怎么还绿了”by:郭德纲)。

  阿基里斯就跟着附和了一句,说乌龟的绿龟壳确实漂亮。谁知道乌龟马上说:“绿的?!它不是绿的!”

  乌龟:不是绿的!一般到这里,都会觉得乌龟有问题。如果是放在正常的对话情境中,估计乌龟挨一顿打也是很正常的。不过这里必须强调一下,这样的对话是为了要表现出对话中的逻辑关系和结构,所以我们需要允许这种“不合理”的情况。(因为这个时候表现形式不是重点,只有在一些特定情况下,可以让表面之下的那些规律更加直观地显现出来)。

  阿基里斯立刻就指出乌龟是在和他玩语言游戏,他给了一些假设:“你在暗示我,你说的不一定是真的;还有乌龟们玩语言游戏;还有,你的话与事实不一定相符;还有”阿基里斯还没有说完就被乌龟打断了,乌龟表示它完全没有,它神圣德看待言辞不玩语言游戏,乌龟们尊重准确性。阿基里斯就问它那刚才乌龟为什么先说自己的龟壳是绿的然后又否定了?

  乌龟又说自己压根没有这么说,阿基里斯指出乌龟的言语当中出现了自相矛盾的地方。乌龟还是否定说自己没有任何自相矛盾的地方,阿基里斯指出乌龟这里又说了一个自相矛盾的话被他抓住了。然后乌龟承认自己露出了一个破绽被阿基里斯抓住了矛盾。(虽然乌龟看起来应该是故意承认的,因为它可以一直和阿基里斯绕下去)。

  阿基里斯说乌龟陷入了自相矛盾当中,这样一来谁都没法来和乌龟辩论了。乌龟说自己并没有任何问题,它与自己的辩论中不存在矛盾,但是问题出在它是和阿基里斯在辩论。然后乌龟在这里抛出了一个非常有进攻性的问题矛盾到底在谁身上?也许矛盾的不是乌龟而是阿基里斯,因为阿基里斯是矛盾的,所以他从乌龟的言辞当中解读出了矛盾来。(联系到前一章关于意义之所在的内容)

  这种对话有种贼喊抓贼的感觉,阿基里斯当然不会同意,他要让乌龟看清楚矛盾到底在谁身上。于是这里就是新一个辩论阶段的开始。(也就是说前面那一大段对话就是为了抛出了一个题目来,而到此为止才算开始正题)。那么阿基里斯的任务就很明确了,他要找出乌龟的话语当中的矛盾所在。(虽说乌龟说这是个最简单的问题,但是这里是涉及到逻辑辩论的,而不是寻常对话,所以实际上不是一个那么简单的问题。我们面对的问题其实是语言本身,这里应该是在审视语言本身的内在逻辑是怎么被建立起来的。所以我们必须遵守规则)。

  这部分的问题思考方式很像是前面提到的J方式,得老老实实的遵守逻辑规则一步一步推导出乌龟的语言中矛盾何在。这是让人挺难受的地方,因为我们一般都是使用U方式到达结论的直接指出矛盾是乌龟先说“是”又说“不是”。可问题就在这里,我们在审视语言本身的逻辑,那么这个“是”与“不是”的逻辑依据又是什么呢?凭什么可以把这个作为依据呢?这就是绕脑子的地方。

  回到阿基里斯的人物上面来,这里他要准备开始了直接引用原文:“嗯我现在不知道该从那开始。噢我知道了。你先是说(1):你的壳是绿的,而接着你又说(2):你的壳不是绿的。这还有什么可说的?”乌龟却说这是在旁敲侧击,没有指出矛盾所在。阿基里斯一下子有点被绕晕了,但随后他还是反应了过来(不愧是希腊英雄这有什么联系呢?):“噢,我明白了。一定是你和我对于究竟什么是矛盾有不同的看法。麻烦就在这里。好,让我来说清我的意思:如果一个人说一件事,并且同时又否定它,那就是个矛盾。”

  阿基里斯的第二次解释的严谨度毫无疑问要比之前的结论更近一步了,更加完整而具有说服力了。乌龟说这一招非常聪明,然而问题没有解决,矛盾的定义如果是赞同又否定的话,那么口技演员可能会非常擅长矛盾(京中有善口技者)。可乌龟说自己又不是口技演员,这又如何呢?我们知道乌龟在这里偷换概念了,但是它确实可以这么做(因为谁都没说概念不能被换掉)。

  阿基里斯说:“我实际上说的是一个人能在一句话里肯定一件事并且又否定它!这不必非要是在同一个瞬间里。”(这里阿基里斯就指出来了,乌龟的偷换概念是把矛盾从“意义上”偷换到“形式上”去了)。乌龟说:“好吧,不过你并没有给出一个句子。你是给了两个。”阿基里斯说:“是的两个互相矛盾的句子。”

  乌龟马上展开了反驳,它说阿基里斯的思维结构乱七八糟的。因为阿基里斯先说的是一个句子里包含了矛盾,然后又说发现两个句子里包含了矛盾。(矛盾之所在)这种方式在辩论当中确实挺有效的,指出对方语言逻辑体系当中的漏洞(哪怕这个漏洞可能不明显)。到这里先暂停一下,虽然阿基里斯也说了,有点搞不懂到底是在和乌龟辩论一些无聊之极的事情呢,还是在辩论一些非常高深的东西呢?(相信大多数读者会觉得前者)

  有意思的就在这里,包括之后会涉及到的“禅宗公案”等等,最高深的问题恰恰体现在最无聊至极的一些事物上面。再提一次哥德巴赫猜想,本质上就是对于数论的研究。那么对于平常人来说这些数字的这么深入的研究有很大意义吗?(估计没有)对于普通人来说哥德巴赫猜想是个无聊之极的东西,这么说也不算错吧。(也不能因此就说这么觉得的人是蠢货)。

  那么回到阿基里斯和乌龟的讨论上面来,经过乌龟的一打断,阿基里斯重新理清了一下思路,他似乎发现了一些什么:“这给了我一个机会好好想想。看来,要让你承认你自相矛盾,必须要有一个逻辑的步骤。”

  乌龟:“很好,很好。我希望那是个简单的步骤,一个不容置疑的步骤。”在之前就已经强调过很多次了,在逻辑推演当中,最高效而强有力的步骤必须是简洁明了的。(比如作为公理公设等等,因为足够简单明了便于证明,最明显的例子就是关于欧几里得的几何学前四大公设)。自然语言太过于繁琐的证明步骤往往会造成一些混淆和概念漏洞导致证明的不严谨。

  阿基里斯很快就给出了他的逻辑步骤:“其想法是:由于你相信句子1(我的壳是绿的),并且你相信句子2(我的壳不是绿的),因此你就会相信把两者结合起来的复合句,不是吗?”(这里阿基里斯给出的逻辑推理步骤对于理解后面将要讲述的内容是非常重要的)。

  乌龟说:“当然。这倒是挺合理的只要结合的手段是普遍可接受的。不过我相信在这个问题上我们会是一致的。”

  阿基里斯:“是的。而这样一来我就击败你了!那个复合句就是”刚说到这里乌龟就打断阿基里斯了,很显然阿基里斯没能说服乌龟自己是自相矛盾的。

  乌龟:“但我们在结合句子时必须十分小心。举例来说,你一定承认人都会死是个正确的说法,对不对?类似地,饭前洗手也是对的,是不是?然后,把它结合起来,我们就得到人都会死于饭前洗手。但情况并非如此,是吧?”首先要注意的是乌龟这里使用的连接词“于”,这是很重要的,这些连接词的使用是一个需要注意的地方,因为和后面关于命题推演的内容中关系密切。

  然后这里还需要插进来,相信有人可能已经注意到了。乌龟和阿基里斯辩论到现在在纠结的问题就是这个复合命题的逻辑问题两个真命题进行复合之后得出的复合命题算是真命题吗?(显然不一定,问题在于复合方式上面。看起来好像这个问题不不复杂,但是在逻辑研究中,实际上谬论也是一个值得推敲的地方,就像前面所说,在特殊情况里面可以暴露出一些更深层次的关联性)。

  乌龟:“所以,你也看到了,把两个真句子结合成一个句子并不保险,对吧?”阿基里斯指出,问题出在乌龟把两个句子结合起来的结合方法上面。乌龟却反驳说,并没有一种规定限定了结合句子的方式,所以它可以自由的结合句子。阿基里斯强调乌龟的复合句应该遵守逻辑,但是乌龟表示不屑。

  于是阿基里斯说:“哦,龟兄,别故意让我难受了。你明明知道并且这个词的含义所在!用并且来结合两个句子是无害的!”乌龟立刻表示阿基里斯给它挖坑了,乌龟如果承认了阿基里斯的这句话,就会被绕进去承认自己的自我矛盾简单来说,如果乌龟承认了“并且”是无害的,它就要用这个连接词来把自己说的两句话复合起来(前面说到过的连词运用)。那结果就是承认自己陷入自我矛盾。

  阿基里斯表示抱歉:“是我不好我竟然试图哄骗你,想诱使你陷入自相矛盾。我很难过。”

  乌龟:“你的确该感到惭愧。我知道你想干什么。你算计着让我接受句子3,就是:我的壳是绿的并且我的壳不是绿的。这么显眼的谬误是绝不会从一个乌龟的嘴里说出来的!”不过乌龟其实没有不高兴,它和阿基里斯的对话到这里就收尾了,她们两个互相打招呼之后就分开了。这个辩论的内容好像没有结果,不过看起来阿基里斯多多少少受到了一点启发。

  阿基里斯和乌龟的这段对话可能让人看得有点云里雾里,有的人可能注意到这又是一个有点像是“白马非马”这类的问题,这和之前阿基里斯和乌龟的那段对话(刘易斯卡罗尔写的,这段对话是侯世达自己写的。)有一个对照。在之前的笔记里面就已经有人提出来了,很多问题都像是类似“白马非马”的问题。说的很对,乌龟和阿基里斯的这一段辩论,确实让笔者联想到了名家上面去。

  今天大多数人关于名家的概念大概是一个逗逼的胖大妞(秦时明月笑)开玩笑的,不过肯定会联想到“白马非马”,毕竟这个在以前就已经耳熟能详了。

  那么就来说说名家:前面开篇关于逻辑的部分就说到过,中国很早的时候就有严谨逻辑思想了,开创这一思想的就是诸子百家中的名家,他们基本上和西方逻辑思想的先锋亚里士多德同时期。古代名家“辩者”以严谨逻辑思想而闻名(当然这个严谨相对来说,那今天和过去比不太合适)。名家开创了中国关于逻辑思想的探究,包括思想中最基本的两个元素“名”与“实”和各个命题关系的诠释。著名的命题除了“白马非马”之外还有“坚白石”、“合同异”、“离坚白”等。著名人物有邓析、公孙龙、宋钘、伊文、惠施(这一位读过《庄子》的人估计不会陌生,那个经常和庄子辩论聊天的人)等人。

  名家的思想流派很有意思,他们首先把“语言”和“事实”分离开,让语言变成了纯粹的运思符号。然后再任意挪移这些符号,有意识地违反语言中约定俗成的内涵和外延,使得变异的语言本身就变成了哲理思辨的内容。简而言之,按照名家的思路来说,语言不仅仅只是思辨用的工具,语言可以是思辨的主要对象。(现代语言学、语义学的起点?)

  以惠施而言,按照名家把“名”与“实”分离之后,借由瓦解语言和事实之间的确定关系,于是就消解了语言认知和经验知识带给人们的固有观念,打破绝对的认知观念,理解事物相对性的视角。当万事万物皆不存在绝对分别时,就能达到天地一体的境界。当然这个论调被庄子狠狠嘲笑了一番,由于《惠子》一篇已经遗失,大部分了解到关于惠施的言谈和学说都是在《庄子》里面,《天下篇》的“历物十事”、《秋水篇》的“濠梁之辩”等等。

  名家强调纯粹的语言逻辑,在庄子一系的道家看来这是一种本末倒置的谬误,庄子认为能用语言来论说的,都是“物之粗也”。(“道可道,非常道”)在追寻道的过程当中,语言知识一项工具而不是目的,把语言当成思想的名家自然和道家的追求背道而驰。即使名家中惠施可以说对于知识语言的看法和庄子非常接近了,可还是免不了挨了庄子不少的批评:“逐物而不返,是穷响以声,形与影竞走也。”

  当时的其他学派基本都没有几个待见名家的,比如儒家批评名家:“不法先王,不是礼仪,而好志怪说,玩琦辞,甚查而不惠,辩而无用,多事而寡功,不可以为治纲纪。”(这话是荀子说的)。道家在前面已经说了,相对来说比较认真对待名家的是墨家。《墨经》(也可以叫《墨子》)一书当中就是墨家通过逻辑方式反驳名家辩论的著作。

  名家注重逻辑思辨,对于数学发展,乃至于天文立法还有建筑的发展都非常重要,同时也和西方逻辑学还有印度的因明学有实际的重叠范围(有兴趣的人可以去对照对照看看,不过这个工作量可不小)。而且诸子百家的各派学说当中其实多多少少有运用到名家的逻辑思辨的方法,名家把这种方式提炼了出来推到了极致,然而却不被各大学派所接受。(也可以理解对名家的反感,多多少少会觉得对方胡搅蛮缠,因为纯逻辑思路的运作对于大脑来说是很有负担的因为这接近机械化的思维推理了,需要很大量的推理工作。按照今天的说法来看,其他学派可能觉得名家像“杠精”当然这是比不了的23333)。

  如前文所说,名家的逻辑思辨到后来就断带了(大概是在六国被秦统一之后),一直到佛教大规模进入中国的时候才把印度的逻辑带了进来,并且重新推动起逻辑学的发展。究其原因其实也不难理解,历史上也都说的挺明白的:首先就是秦朝时侯,为了加强中央集权统治,秦始皇禁止私学,只能以吏为师“焚书坑儒”这个“儒”不光是儒家到了汉代又是“罢黜百家,独尊儒术”。在这样的环境之下,名辩之学没有了发展环境,名家自然也就随之没落了。

  同时名辩之学和秦汉以来的中国主流文化精神不一致从那会其他诸子百家对名家的态度就能看出来了,尤其这个名辩之学本身就涉及到辩论(怼人)。古代文化重人文,轻自然。名辩之学想要穷极事理,却招来批评;汉代之后儒家成为显学,士大夫都关注于社会伦理问题,强调经世致用,名辩之学自然就被看成是以争胜为目的的无用之学。纯粹的语言分析和逻辑推演被主流学派所批评否定。

  同时名家自身本来就相当艰涩难懂,也影响了发展。纯粹的语言分析首先遇到的就是一字多义的情况严重,学术传承非常困难。(同时也要求名辩之学的人本身素养极高,否则确实一个不小心就成真的杠精了。名家学者和杠精毕竟不是一回事)。然后就是名家将常用违反常识的语言叙述命题,常人难以接受自然而然失去了研究兴趣,后学难以为继的情况之下,名家学派自然会没落。也挺正常的,看看上面乌龟和阿基里斯的聊天,有多少人第一反应是想把乌龟宰了,然后嫌弃阿基里斯真够有耐心的在那里陪着乌龟绕啊?

  来讲讲这篇对话的题目半音阶幻想曲和互格,变形自巴赫的作品《半音阶幻想曲和赋格》。赋格在之前的笔记里面已经有过详细的介绍了,半音阶涉及到十二平均律的内容在之前也有说过。那么来说说这个幻想曲;幻想曲是一种音乐体裁,和赋格、卡农、奏鸣曲这类的一样。

  幻想曲顾名思义,发挥作曲家的想象力而不遵循传统曲式的作品,统称幻想曲。其实这一类体裁的涵盖面很广,有这么几类:

  (1)16或17世纪的时候,作曲家不采用舞曲形式或变奏作法,在用复调手法发展主题中自由地驰骋他的想象力,这一类手法创作出的弦乐曲和键盘乐曲。《简易音乐入门》(1597)一书的作者在书中描述过幻想曲这类乐曲:“这样的作品可以显示比任何乐曲更强的艺术性,因为作曲家无所拘束,他可以随心所欲地增、减或改变。”

  (3)在曲式上比普通奏鸣曲更为自由的大型作品,比如贝多芬的升C小调《类似幻想曲的奏鸣曲》,op27,no2著名的《月光奏鸣曲》。

  (5)根据一个或几个主题写成的作品,如李斯特的《根据歌剧“梦游女”的动机而作的幻想曲》一般都会被叫做《某某主题幻想曲》。

  这就是这一章节的对话为什么要用幻想曲了,重点就在于此。幻想曲通过自由创作强调艺术性,这段对话通过构造违背常理的句子来突显出语言背后的逻辑性质。

  这一章的主题就是“命题演算”,命题演算本质上就是一个形式系统之前已经构建过好几个形式系统了。从前面的内容来看,要进入这一主题还有几个比较重要的概念需要说一说书里比较的口语化,虽然很多人会看得云里雾里。

  首先是在前面介绍名家的时候,他们专注于语言本身的思辨,这让笔者联想到了“元语言”这个词。而元语言正是用于专门讨论形式系统的语言。元语言本身可以像普通语言那样自然,但是一部分可能可以形式化。通常元语言比起受检验系统的形式语言来不那么的正规化。这形式语言被叫做“对象语言”,意思就是指问题的议论对象。(最简单的说法,元语言就是讨论语言本身的语言自指性的东西始终阴魂不散,感觉到了没有?)

  目前元语言被分类为三种:“内嵌”、“有序”和“巢状”(可能还有其它的)。

  内嵌元语言的概念就是从这本书里面来的,由侯世达首先提出来。侯世达教授在讨论形式语言和数论之间的关系(从前面笔记里可以看出来):“数论的任何形式化都自然会有个元语言内嵌在其中。”书中的原句。简单来说,内嵌元语言就是一个形式地、自然地且牢固地固定在一个对象语言之中的语言。“这也出现在自然或非形式语言之中,如在英语里,形容词、副词和所有格代名词会构成一个内嵌元语言;名词、动词,有时还有形容词和副词则会构成一个对象语言。因此,词组“red barn”中的形容词“red”即是英语的内嵌元语言中的一个词;名词“barn”则是对象语言中的一个词。在词组“slowly running”中,动词“running”是对象语言中的一个词;而副词“slowly”则是内嵌元语言中的一个词。摘自维基百科的例子。”

  有序元语言可类比于有序逻辑。就是构建一个元语言来讨论对象语言,接着在生成一个元语言讨论前者(元语言的元语言)可以一直展开,这不就是递归么?

  巢状元语言:“和有序元语言相似,每一阶层都会代表更大程度的抽象化。不过,巢状元语言和有序元语言之间也有不同的处,前者的上层元语言会包括下层的元语言。巢状元语言的范式例子来自于生物学中的生物分类法。此系统中的每一层都由下一层所组成。用于讨论属的语言也可以用来讨论物种;用来讨论科的语言也可以用来讨论属;以此类推,直到界、域都是如此。摘自维基百科。 ”

  再来说一说形式系统的构成要素,之前简单地说过就是三个部分:公理、推理规则、定理。这里详细拆分来说:

  (2)一套文法(算法规则),说明了如何用上述符号构建起一个形式良好的公式(通称:合式公式/WFF)。通常会要求一个判定某公式是不是为形式良好的算法。

  (3)一堆公理模式的陈述,每个公理都必须是上述的合式公式。

  接下来可以进入正题了命题演算。我们已经知道命题演算就是一个形式系统,由可以由逻辑运算符结合原子命题来构成代表“命题”的公式(前面阿基里斯和乌龟辩论的时候用连词把两个句子连起来),以及允许某些公式构建成“定理”的一套形式“证明规则”。(那些连接词的正确使用正确使用,强调一遍)。

  命题演算就是阿基里斯可以拿来对付乌龟的诡辩的最好工具,这个演算的形式系统,包括一套语法表示式(合式公式),这些公式的一个特定的子集(公理)和一套定义了特定的二元关系的形式规则,这个二元关系可以解释为表示式空间上的逻辑等价关系。(这里就限定了乌龟和阿基里斯的辩论当中,关于句子的使用还有那些连接词的使用。)

  在命题演算中,一个“合式公式”是由任一原子公式(比如上面的举例),或任一以运算符号依照文法规则由原子公式创建出的公式。比如说上面的那个复合句。

  如果形式系统是作为一个逻辑系统的话,它的表示式会被解释成数学规则,而且它的“推理规则”,一般会是保真的。在这样的设置之下,规则(可能也包括公理)可以拿来从给定的“真的”陈述公式中推导出表示真的陈述公式来。这不是一个很直接的给予,用书中侯世达的原话来说:“它有点像一个谜题:并不马上把每一件事都解释清楚,而是让你自己多多少少把这些事情想出来。”

  1一套原始符号,被叫做“原子公式”、“占位符”、“命题字母”或“命题变量”。原子公式意思是说,在数理逻辑当中,一个原始的没有子公式的公式,也就是说在逻辑系统里“最小”的公式。用不恰当的比喻来说:就是构成后面长句子的最基本的简单句子。那句子可以用符号代替掉。把什么样的公式当作“最小”的原子公式,这个要看所使用的逻辑,比如说我们现在在说的这个命题演算,其原子公式就是“命题变量”也就是一个要么是真要么是假的变量。命题变量是命题公式的基本构造板块,这么说太抽象了,直接举个例子:“正在下雨”或者“我在屋里”。

  2一套运算符号,被称之为“逻辑运算符”。在形式逻辑里面,逻辑运算符或者也可以叫“逻辑联结词”,其作用是把语句连接成更复杂的句子。比如前面举的两个例子,使用逻辑运算符可以把这两句句子合成一个复合句子(复合命题):“正在下雨,并且我在屋里”。这个例子在前面阿基里斯和乌龟的对话用过了,不过我们很明显的发现,用这个系统来对照乌龟说的话,我们就发现乌龟的逻辑运算符用的不对。

  命题一词中学课本的时候就接触过,我们知道那是一个语句,还有涉及到真假(堆词)的判断问题真命题、伪命题。在现代哲学、逻辑学、语言学中,命题是指一个判断的(陈述的)语义(实际表达的概念),这个概念是可以被定义并被观察的现象。命题并不是指判断(陈述)本身。

  命题的概念不受限于语言,因为当判断(陈述)不相同,但是具有相同的语义的时候比如同一句话用中文和英文来说:“雪是白的”、“Snow is white”。那么这两个判断(陈述)被理解为表达相同的命题。当然再同一种语言里,不同的判断(表述)也可以表达相同的命题“雪是白的”和“冰的小结晶是白的”。而这相同取决于我们可以判断“雪”的有效定义是“冰的小结晶”。(我知道这里可能有人要指出应该是“透明的”而不是“白的”,这里就是举个例子,模糊一点没关系)。

  从上面的例子就可以看出来,所谓的命题是指一个闭判断,闭判断放到数学里可以理解为不带有自由变量的方程式或者不等式。那么与之相对的就有开判断,定义和前面正好相反带有自由变量的方程式或不等式,用逻辑术语来描述可以这么说:“在用特定的数,代替其中的变量时,将使得结果的表达式被求值为真的一个句子”。命题不属于开判断,也不同于谓词(一阶逻辑,一阶逻辑有论域,简单来说就是有一个讨论范围)。

  命题中即不存在变量,也不存在论域,所以是闭判断。于是命题只存在两种结果,它不是真的就是假的。

  上面看起来好像有一大堆很复杂高深的专用语,但是把实际例子拿来对照就会明白这些其实是最基本的一些东西,甚至在我们平时的聊天对话当中,这些东西也都存在着。很有趣的就是往往是最简单的一些概念,表达出来的东西却让人觉得特别的高深。如果去阅读欧几里得的《几何原本》你就会发现,其中那些公理什么的都是在说一些对我们来说几乎是常识中的常识的东西。

  所以再绕回来,本质上命题就是一个可以对其进行判断真或假的陈述句,但是同时也存在着一些真假并存的命题,那些命题就是悖论。

  且不说那些很复杂的理论,哪怕是在我们的日常生活中,语言的交流必不可少,其中陈述句所占的比例很大,是构成我们语言逻辑的重要组成。我们看到命题既然是这样的一种陈述句,于是它同时会和很多其他的叙述有重叠(数学叙述),比如说公理:没有经过证明,但被当作不证自明的一个命题比如:“早上出太阳”、“直线由点构成”

  同时命题在经过一些逻辑加工之后也会变成别的数学叙述,比如一个命题在经过受逻辑限制的证明后,被确定为真,那么这个命题就成了“定理”。被相信为真但是没有经过证明的命题叫做“猜想”哥德巴赫猜想。从一个命题可以简单推导出另一个命题,后者就被称为前者的:“推论”。表达命题的形式语法对象叫做:“公式”。

  书里的描述要比上面这个概括简单直接的多,侯世达直接给出了一个符号表,和一条推理规则(不止一条,后面还有。大概和上面说的一样)。字符表里的符号就表示命题演算里包含的那些元素原子公式、逻辑运算符。第一条推理规则的作用就是取来两个定理(符号),并且把它们组合成一个(字符串)。

  然后我们知道根据推理规则,我们能给出一大串各种各样的符号(当然不是完全自由的,要根据规则里的设定来,但是你还是有一定的自由度)。这里引用原文一下:“有一点是很重要的:我们要定义所有串的一个子集,即良构串的集合。它们是用递归的方式来定义的。”递归的概念在前面说过,简而言之就是推导出来那些公式的样子有点类似于斐波那契数列。推导出的一个长的字符串正好是上面两个字符串的组合,而上两个字符串的组合,又是再上面两个字符串组合出来的(依次类推)。这种方式可以让每一个串都可以追溯到自身的基本成分原子公式。

  也就是说只有良构串的字符是可以往回追溯到源头的,推理规则倒推回去可以帮助验算出字符串集合当中有哪些是良构串。这就是为什么是递归方式来定义,如果原子公式是良构的,那么通过递归,可以把这个良构传递到后面的字符串当中去。

  书中已经给出了提示,这些字符串可以像pq形式系统一样找到同构,从而表达出意义。PQ形式系统的字符串可以同构于加法等式,同样的,在这个命题演算当中的字符串就可以变成陈述语句字母代表命题,符号表示联结词。良构串的情况下,这些字符翻译出来的句子一定是通顺的。(仅仅是在语义上的通顺,实际上出来的句子因为太过简单、无聊、混乱,以至于让人觉得根本没有什么意义,因为说到底这只是符号系统运算出的玩意)。

  从命题推演这一部分如果延伸出来到现实的领域当中可以涉及到很多学科,比如说逻辑学当中的语义学。我们看到逻辑学这些诸多内容都充斥着大量的专用词,意义不明、也不知道要做什么(对于不是这门领域的门外人来说就是如此)。那么要想搞懂,最重要的就是明白这门学科的目的和意义之所在。

  现代的形式逻辑学其中涉及到语义学的部分,其目的在于要设计一套形式语言系统,并对其做出语义解释。这样构建出来的形式语言系统是一个个抽象的封闭体系,这些体系能够应用于很多不同的领域,比如计算机科学(设计计算机语言)、法律(构建法律体系)等等涉及到逻辑学的应用。

  语义学的内容散布于多个领域之内,包括上面提到的逻辑学、计算机科学、认知科学。比如在计算机科学当中,语义学研究在于机器对于自然语言的理解;认知科学当中对于语义学的研究在于人脑对语言单位的意义的存储和理解模式。而这二者有共同构成了对于人工智能的研究,语言是思维的形式框架,这一块是绕不开的。

  “一个逻辑系统通常由三个部分组成,即词汇部分、句法部分和基于模型论的语义部分。

  1所谓的词汇部分就是列举出一个形式系统所使用的所有符号。

  2句法部分是这些符号的组合规则,规定什么样的符号序列可以是这个系统的句子。

  3语义部分是对合格句子的解释,这样的解释通常是:在一个模型中进行的对真值条件推导。摘自维基百科”

  逻辑学中的语义学操作步骤如上所示,拿来对应一下命题演算,这样看起来可能直白一些。而从这些之中还能引申出更多的部分。(因为语义学本身就可以涵盖多个领域,本质上来说就是不同的应用方式)。

  “联结规则:如果x和y是定理,那么x y是个定理

  分隔规则:如果x y是个定理,那么x和y二者都是定理。

  双弯号规则:~~这个串可以从任何定理中删除。它也可以嵌入到任何定理中去,只要所得的结果本身是良构串。

  幻想规则:如果假定x是一个定理时能推导出y来,那么xy是个定理。

  搬入规则:在一个幻想里边,任何来自于现实性高一个层次的定理都可以拿进并使用。

  分离规则:如果x和xy二者都是定理,那么y是个定理。

  命题推演这个形式系统要比书里前面介绍的几个形式系统复杂得多,这里摘录一段书中的原文来看看:“我们看到,这个系统的一个特别之处在于它没有公理只有规则。如果你回过头想一下先前我们看到过的形式系统,你可能就会奇怪:怎么才能有定理呢?事情怎么才能开始呢?回答是有那么一条规则,它无中生有地制造定理它不需要一个老定理作为输入。(其它的规则都是要求输入的。)这个特别的规则被称为幻想规则。”

  这一部分原书中的论述是非常重要的,也是笔者认为命题演算最为重要的一部分,还得继续引用一下书中的原本内容:“在使用这条幻想规则时,你做的第一件事是写下一个随你喜欢的任何良构串X,然后用提问的方式来将其幻想一下:假如这个串X是一个公理,或者是一个定理,将会怎么样?。然后,你就让系统自己来给出回答。也就是说,你继续往下做,把X当作起始行造一个推导,并让我们假设Y是结束行。(当然,这个推导必须严格地遵守该系统的规则。)从X到Y所得的每一样东西(包括X和Y在内)都是幻想,X是幻想的前提,而Y是幻想的结果。下一步是从幻想中跳出来,这时,我们可以肯定的是:

  如果把书中举出的详细例子拿出来看,很多人估计就会云里雾里的,因为全都是字符串,一大堆符号,看不懂意义。其实很好解释,就和前面的pq系统去对应加减法,短杠符号数量对应数字一样。实际上在命题演算这个形式系统内,一些大写的字母(通常是这样,为了便于区分)本身代表着一个命题(最简单的判定的短句子)。一些横杠或者箭头类的符号就代表着联结词(比如说:“若则”)。

  以这个思路再来看书中的那些符号串运作,就不会显得那么复杂了。其实是在做什么呢?从书中的内容来看,似乎是在机械化的构成具有逻辑的语句(自动生成)。今天的计算机技术中,从实际应用来看这些符号串和形式系统就会感觉直白的多计算机语言的生成。但是实际上远远不止这些(设计人工智能的研究,我们肯定要反过来先对自己的思维逻辑有所了解才行。)

  命题演算本身就可以帮助我们发现一些语言以及思维当中存在的一些逻辑,那些语义生成的规律(涉及到“真值”概念,也可以叫逻辑值:是指一个值来表示一个陈述在什么程度上是真的,计算机编程中有专门的名字“布林值”、“布尔值”。)。正因为如此,从这个形式系统的例子就让我们可以看到,我们寻常使用的自然语言可以在符号化之后变成类似数学公式的“符号串”。

  然后我们继续回到书中的命题演算系统上面来,这里提到的这个幻想规则有一个非常重要的,在之前的笔记里面花了大篇幅讲解的一个概念递归。在命题演算中的这条“幻想规则”是可以递归使用的,

  “搬入规则:在一个幻想里边,任何来自于现实性高一个层次的定理都可以拿进并使用。

  (提醒:不能有相反方向的搬动:在幻想里面的定理不可以搬到外头来!如果不是这样,你就可以写任何东西作为一个幻想的第一行,然后把它拎到现实世界中当成一个定理了。)”

  之前有说过,递归可以在应用中替代单纯的循环(因为递归是可以设定终止的,也就是完全弹出所有的层次达到最上端)。同时递归的自调用可以让自己不断的扩展开来,出现一些不一样的东西(无穷展开之前的内容中用遗传信息来比喻就是这个原因)。于是我们看见的情况就是,随着递归规则(幻想规则)的不断使用,得到的字符串越来越长越来越复杂。

  简单来说我们只用一条推导规则,就可以让得到的信息串越来越长组成复杂的复合句。同时又因为递归的性质,不断的加长的字符串依然可以保证其真值。这就可以拿来和前面给出的几个形式系统单纯的加长规则来类比一下了,比如pq形式系统,因为之前单纯的加长规则会让得到的字符串集合里面出现不符合要求的字符串(非定理)。递归可枚举集?(记得那个规定“素数”的pq升级版形式系统吗?)

  在随后的内容中,提到了幻想规则的逆规则,这条规则被叫做:“演绎定理”。在数理逻辑里,演绎定理声称如果公式F演绎自E,则蕴涵E F是可证明的(它可以自空集推导出来,而空集就如同字面意思,那就是没有元素的空的集合)。这有点像是之前提到的那个“验算”,它非常的重要,好比是这个逻辑系统的某种“凝聚力”,让这个系统可以有效地构筑起来。

  演绎定理本身是一种“元定理”(关于“定理”的定理):在给定的理论当中使用“演绎定理”来进行正面,但是它不是这个理论在自身的一个定理。它是一个关键的钥匙,在命题逻辑当中,如果不使用“演绎定理”来进行的证明是非常非常困难的(基本就是说不清楚话的那种感觉,拿到实际例子里面来,就可以参照上面乌龟对阿基里斯下套的那段对话:“阿基里斯在劝导乌龟接受一个若-则语句的第二个子句时遇到了极大的麻烦,尽管这是在这个若-则语句的第一个子句以及这个若-则语句本身都已经被接受的时候。”)

  再简单点来说,演绎定理就是:如果X和XY二者都是定理,那么Y是一个定理。这样看来其实没有那么复杂了,虽然上面来来回回。反反复复地做了那么多操作,得到了一大堆的字符串公式。但简单来说这就是在建立一种“规则”,从混沌当中建立起一种“秩序”。逻辑体系的构建是一切的基础中的基础,单单就用语言这个例子来说就是如此,我们之间的对话能够建立,依赖的正是逻辑体系在自然语言中起到的作用。把这些例子简化成符号其实可以让我们更加明确的看出来,前一篇笔记里提到过信息的粗略分层,大概可以分出三个层级。而这些“层级”的构建,以及内部信息的构建依赖的就是逻辑系统,命题演算是其中一个例子(还有不同的演绎形式和解释方法)。

  真值在这里还得说一说,前面已经说过在逻辑系统中判断什么是真的值就叫“真值”。而这个所谓的“真”是指逻辑有效。对于真正的“真”这个问题的讨论可以上升到哲学高度,几乎不存在一种可以被所有人完全接受的解释。因为真(真理)虽然被定义为与事实和实在相一致,但是事实都可以分为表现形式和内在实际,所以很难有任何一个真理定义能被完全接受。(这个问题几乎一直争论不休)。

  真值(也叫:逻辑值),在涉及到不同的逻辑系统的时候存在着不同的情况,比如前面提到过在经典逻辑当中,真值之存在两种真和假。而在模糊逻辑和多值逻辑当中,真值则存在多个解释简单来说不再是非黑即白,而是出现一些模糊化的或者分情况下的不同解释。也就是说打破了上面提到过的逻辑里的“排中律”。经典逻辑中的排中律往往会被误用,结果导致逻辑悖论出现。

  (这个例子是书里的原文,本章节里面所有的例子都采用禅宗公案的例子。这样做是故意的,多多少少带有侯世达对于禅宗地挖苦的意思,因为他觉得禅宗公案都是处心积虑的构想出来的反逻辑的故事。)

  你可能已经注意到了,每个定理被解释时说了些完全不足道的、自明的事情。(有时它们是如此自明,以至于它们听起来让人觉得空洞,而且特别奇怪的是混乱的或者甚至是错的!)这一点可能不会给人深刻的印象,但只须记住,客观上存在着很多可能会产生出来的假命题虽然它们并没有被产生出来。

  这个系统命题演算是一步步很干净地从真走到真,仔细的回避所有的假。正像一个人一心要不弄湿脚,他就会在小河里小心地一步步从一块蹬石走到下一块,完全遵照蹬石的布局,而不管它可能是如何地曲来拐去和难走。给人印象深刻的东西是在命题演算中所有的事情是纯粹的符号地做出来的。没有谁置身其中成为里边的人,去考虑这些串的意义。它做起来完全是机械的,不经思考的,硬性规定的,甚至是傻乎乎的。

  这里可以看出来真值对于句子意义的解读并不具备多大的影响力,上面已经说过了所有使用的句子全都是简单到自明的真值为真的,但是本身也简单到几乎没有意义。而递归规则构建出来的复杂复合句也变成了同样的形式复杂但是简单自明到几乎没意思的句子,而且同时因为形式化变得复杂了,这种无聊的意义似乎也被加深了(感觉上面特别复杂的简单句子)。

  关于解释在上一篇笔记当中已经做了很详细的解释和论述,我们在这里就看到,把一个形式系统赋予意义要运用到“同构”等等概念。而要整合这个形式系统比如命题演算,要涉及到真值。虽然对于每一个语句都包含有真值的测定,但是逻辑值并不能完全保证解释出来的信息是具有“意义的”,也就是说逻辑自洽并不完全等同于“有意义”虽然真值确实能够帮助进行解释。

  ”然后侯世达在这里就在反复提到禅宗公案,因为他在上面提到的这些形式系统等等规则和推导功能似乎到了禅宗这里就完全失效了。在后面他专门使用了一整个章节的内容来探讨他对于禅宗的理解,试着接触框架之外的东西,可以帮助我们对框架有更深一步的理解。

  ”。一致性,逻辑系统的一致性也有不一样的叫法(仅限于逻辑范畴内),也有叫做相容性或者自洽性。意思也很明确,也就是说一个形式系统当中不蕴含矛盾性,那么这个形式系统就是一致的。形式系统中的矛盾依照语义和语法分别有两种解读方式:在语义上,当一个命题是由多个命题组成的时候,如果所有是构成命题都是真的,则这个命题就是一致的,否则就是不一致的。从语法上来说,公理系统不可以推导出两个相反的结果,亦即不存在命题P,使得PQ和P~Q同时成立。

  所有的定理,当它们解释为表示什么时,都是真语句。但是我们却是知道是这么回事吗?我们能证明是这么回事吗?这正是换一种方式来问那些预期的解释是否有资格被称为符号的被动意义。”注意我在“所有的定理”这句话下面划了线,这个问题的重点和前面章节里提到的关于“素数”(类似的例子比如哥德巴赫猜想的证明)的证明有类似的情况也就是说“所有的定理”是无穷的,不可能一条一条证明出来。那么我们该怎么办?即使已经有了形式系统可以进行自发地证明,可是依然存在没有被验证到的情况。那我们是否能接受其中的“可能性”。换一种说法:形式系统之下我们能证明到的定理全都是真的,那么这是否表示形式系统之下的“所有定理”都是真的,或者在我们没有证明到的范畴内是否依然可能存在非真定理?

  这里假设了两种情况,作者分为“马虎”的观点和“严谨”的观点。简单来说“马虎”的观点认为我们可以选择相信那些没有证明到的定理依然是真的(不需要证明)。“严谨”的观点则认为还是应该要一条一条验证一下(即使已知的所有定理都已经判定为真,但也必须全部证明之后才能确定形式系统之下没有假命题)。

  这个问题其实可以通过逻辑上给出的一致性来进行证明,因为形式系统是具有一致性的,那么我们可以选择相信所有的定理都为真。然而问题没有解决,如何给出关于一致性的证明?问题到了这一步基本走不下去了。

  试图用逻辑和推理来维护它们自身是很困难的。到某一时刻,你就无路可退了:除了大声嚷嚷我知道我是对的!之外,并不存在这种维护。我们又遇到了刘易斯卡罗尔在他的对话中尖锐地提出的论点:你无法永远维护你的推理模式。到了一定的地步,就只有靠信仰了。摘自原文。

  ”记不记得第一个形式系统WUJ形式系统?当时分别提出了三种处理方式W(维思维)方式、U(无禅宗)方式、J(机机械)方式。现在的问题是我们,人类而非机器在面对形式系统的时候会有什么样的情况。毫无疑问我们与机器不同,所以大部分人一定会自觉地选择用W方式来处理任何形式系统(这里针对命题演算)。当然经过一定训练的专家,比如数学家,可以比一般人更好的使用J方式来进行证明(相对一般人来说更严谨,而不是完全的机械化),因为他们更加的严谨。(禅宗在后面集中讨论)。

  然而问题就出来了,形式系统本身就是适配给J方式的因为你要构筑一个十分严谨的逻辑系统的话就必须如此,而人们使用W方式来推导形式系统就会出现矛盾。

  ”如果我们证明这个捷径是正确的,并不能帮我们证明这个形式系统就是正确的。这个捷径是一个非常抽象的“证明思路”,但是这个证明思路却不属于形式系统当中,因为我们是跳出形式系统之外来看待的。如果有人要问这有什么不行的话,那么可以说这其中显然有一种“指鹿为马”的问题在里面,而最重要的是没有严谨性(那么很多意义也就丧失了)即使这是对的(那么问题就是我们到底在说什么?)。“

  并没有理由去怀疑这种特殊的导出规则の正确性。但是一旦你开始承认导出规则是命题演算中你的那些操作过程的一部分,你就丢掉了系统的形式性,因为导出规则是非形式地导出的它是在系统之外的。形式系统是被当作这样一种东西提出来的:它明确的展示出一个证明的每一个步骤,而且这一切都在一个唯一的、严密的构架中进行,因此任何数学家都可以机械地来检验另一个人的工作。但是如果你乐意从一开始就走到那个构架之外去,那么你干脆还不如压根不创造这个构架。所以,走这样的捷径是有缺点的。

  ”“层次”是一个反复被提到的概念,要找一些相近的词来描述的话,可能可以帮助我们更加容易的联系到形式系统(命题演算)上面去。比如:“轮廓”(之前我们好像用过?)、“界限”那么,系统是什么呢?形式系统包含了“层次”这个概念的;因为一个形式系统可以是一个层次也可以包含多个层次,但如论如何它有一个“边界”。

  无论一个形式系统包含了多少层次,我们的思维都可以把这多层次压缩成一个层次然后在跟高一层上面往下俯瞰。这个就是前面说过的在形式系统里找捷径的做法,而这也是出现了悖论的地方,因为它矛盾了。我们一边试图用形式系统来划出“界限”,然而思维又总是喜欢打破“界限”(虽然从前面的例子来看很多情况下是为了“偷懒”。)

  前面说到了很多关于“元”的概念:“元语言”、“元定理”、“元系统”还记得我们之前关于“递归”的那一篇对话的时候,阿基里斯和神灯里的怪物关于“元怪物”的无穷展开问题的探讨吗?从这个角度来说,似乎对于形式系统的证明的最大障碍,就在于这个天然的不可逾越的屏障:人的思维总是能跳出去进行“元”的无穷展开。(又没有人想到《黑客帝国》里的尼奥?)

  侯世达同时还指出,不仅仅只是跳出形式系统,恰恰由于我们的思维具有着这样的能力而使得我们会混淆“层次”,于是混乱就产生了。(想想我们在辩论问题的时候,说到后面还是一回事吗?这只是一个类比的例子)

  这一点是很清楚的:不管你形式化了多少层次,最后总有人还想在顶层去造捷径即使一个系统能够对自身进行思考,它也仍然不是在它自身之外。你站在系统之外去观察它,与它观察它自身的方式是不同的。所以仍然还有一个元理论站在外边所做的观察即使是对一个这样能够在它里边对自身进行思考的理论也是如此,

  一个证明是某种非形式的东西,或者换句话说,是日常思维的产物,用人的语言写成,说给人听的。思维的各种各样复杂的特点都可能用在证明里面,虽然它们可能感觉是对的,人们却还是不知道它们是否在逻辑上能有保证。这正是形式化真正的目的所在。一个推导是证明的人造对应物,它的用意也是要去达到同样的目标,但却是通过一种逻辑结构去达到,这个逻辑结构的那些方法不仅是全然明确的,而且是非常简单的。

  ”证明之别于推导,多多少少揭示了形而上与形而下之间的某些“距离”(很小范围内的,而且这也是相对来说)。“量级”的差距,就如同之前举出过的例子,比如:遗传信息之于人体器官、基本粒子之于实体物质。后者是前者以天文数字量级的有机结合构成的,而且这种“有机的结合”是非常有趣的,以递归为例子,我们发现在这样的情况下任何一种简单性都会带来一种特殊的复杂性,这导致我们几乎无法把握住它们(经常出现混淆)。

  在复杂性上面,更好的对比是我们的思维方式之于形式系统(比如命题演算)。一个很直白的例子(当然书里给了一个具体的)。一些情况会被容许在高层次(抽象想层次)当中出现,而无法允许出现在低层次当中。以命题演算的形式系统为例子,一但命题演算的起始定理有一个矛盾,结果就是这个矛盾会随着递归的推导规则一路扩散到整个系统最后导致崩溃,然后只要是以这样一个命题演算为基础的系统也一定会崩溃就像癌症一样,而且是那种瞬间扩散的。

  但是你看,问题就在这里,形式系统会因为矛盾而崩溃掉,但是我们的思维并不会,一个矛盾绝对无法摧毁思维,乃至于思维当中甚至可以包含诸多矛盾(因为我们会混淆一些东西,而且意识不到)。当然我们也并不会对这些矛盾弃之不管,反过来我们一般会跳出矛盾系统从外面对其进行维修。这是形式系统自身无论如何做不到的事情,但是我们的思维可以做到。

  之前在介绍数学发展史的时候提到过三次重大危机,然而我们知道矛盾并没有崩溃终结掉数学,反而每一次出现矛盾都可以让系统得到升级(又想到《黑客帝国》里尼奥作为母体矛盾帮助矩阵升级。)虽然这些加强和修正的过程要花上很久很久只想对于个人来说。

  回到命题演算上面来说,这个形式系统本身就经过了多次修改和升级,有人试图以这个作为基础开始来接近人类思维,并且出现了很多研究方向(下一章节介绍的TNT系统笼统地来说,就是命题演算的强化升级版)。

  已经年末了,不知道文章何时能够发出,所以说圣诞快乐或者新年快乐似乎两边都靠不上。(笑)回想一下从今年四月份开始阅读GEB并且投稿读书笔记到现在,八个多月的时间转眼就过去了。然而连上半本书都没有看完,实在是能力有限。

  笔者自知能力实在有限,对于笔记的质量就不做什么奢望了,唯一能自信的就是,笔记会一直持续到读完全书。感谢愿意花时间来看笔记的各位,谢谢大家的支持。

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