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存在既相容又完备的公理体系吗?有什么例子呢?

发布时间:2019-07-04 02:19 来源:未知 编辑:admin

  既相容又完备的公理体系其实是很多的,只要它描述的结构足够的简单或者其本身的结构足够复杂。@罗心澄已经举了很多例子了。而@王沛提到的完备性(completeness)也确实有两种定义方法:

  2:对于某类模型(比如群结构,或者实数域结构,或者自然数结构,等等),任意命题

  一般的,哥德尔不完备性定理中的完备性指的是第一种意思,但其实也可以用第二种定义来理解:我们把模型确定为自然数的标准模型

  ,即数论的模型,那么在这种意义下Peano算术公理体系仍然是不完备的。实际上这种不完备性的解释更本质一些,因为绝大部分数理逻辑学家真正关心是“我们究竟能不能证明所有算术真命题”。

  @罗心澄给出的例子都是第二种定义下的完备性,即相对于某个语义的完备性。

  上成立的一阶语句拿出来,换句话说,我们把所有知道和目前还不知道的数论中的真命题凑成一个集合,把所有的真命题当作公理。这个公理体系显然是完备的,因为任何命题要么是真的要么是假的。

  (Real Closed Fields Theory)。可以理解为实数上的域理论

  指实数。尽管看起来好像实数好像比自然数要复杂很多,但实际上实数的域理论是完备的,甚至是

  (3)任意数和它的相反数之间,至少有一个是平方数。(即一个非0的数要么是正数要么是负数)

  实闭域理论的完备性最早由塔斯基(Tarski)在1951年证明,可以称得上是代数模型论中最重要的定理之一。

  . 任意特征(characteristic)的代数闭域理论(Algebraically Closed Field Theory),我们以特征

  . Presburger算术。它是Peano算术的一个片段。正如@王沛提到的,这是一个有加法、没有乘法的算术理论,公理由Peano算术中那几条只涉及加法和后继运算的公理构成。

  . 欧式几何公理。欧几里德提出的五条公理已经非常接近一个完备的公理体系了,但它还不是。塔斯基曾给出过一个欧式几何的一阶逻辑公理体系并证明了它的完备性,由于太繁琐我这里就不列举公理内容了,具体参考wiki:Tarskis axioms。另外希尔伯特也曾提出过一个欧式几何的公理体系,不过他的体系并不是一阶的。

  除了最后一个以外,前面的5个公理体系的完备性你都可以很容易在一些模型论或数理逻辑教材中找到,个人推荐David Marker 的 Model Theory: An Introduction。

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