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逻辑学中前提为假而命题为真的推论如何解释?

发布时间:2019-07-19 21:07 来源:未知 编辑:admin

  在数理逻辑中, [公式] 的真值表,只有 [公式] 真 [公式] 假的时候,整个命题的值才为假。 可是为什么 [公式] 为假时,无论 [公式] 怎样,整个命题都是正确的呢? 请分析说明,或者举些例子吧! 补充说明:“仅当前件 [公式] 为真而后件 [公式] 为假时,直陈条件句‘如果 [公式] 那么 [公式] 才是错的”的这条逻辑理论是谁最先发现的(或规定的)?为什么要规定这样一个明显可以导致“实质蕴涵悖论”的逻辑理论? (实质蕴涵悖论:任何带有错误前件的直陈条件句都是对的。比如“假…

  上面通过一个简单的证明,说明了这种定义的合理性。这里再提供一个理解的思路。

  当然,即使解释了这种定义的合理性,也一定会有人还是觉得这个定义很怪,毕竟它认为“如果1+1=3,那么雪是黑的”这种命题是真的(因为前件为假)。怎么理解这个奇怪的情况呢?@罗心澄的答案给了一个很好的例子:

  但“如果它是正方形,那么它有四条边”是不可能为假的。换句话说,认为“如果它是正方形,那么它有四条边”为假,比认为“如果1+1=3,那么雪是黑的”为真更荒谬,更不可接受,因此只好承认两者都是真的。

  第二点比较好理解:举例:「如果这个图形是正方形,那么它有四条边」显然是正确的。

  因此我们找到了一个特例:这个特例中,条件句在一切前件为假的情况下都是真的。(事实上这个特例对于前后件同为真的情况下也成立。而另一方面,我们可以考虑这个图形的确是正方形的情况,进而锁定了蕴含算子的运算规则:仅当前件真,后件假的时候为假。)

  第一点有点难以理解,这要从经典逻辑的性质说起。经典逻辑是真值函项逻辑,就是说,逻辑连接词(一元、二元逻辑谓词)都是仅仅和(语句的)真值相关的函数。对于真值函项逻辑连接词,唯一能够决定复合语句真值的,是子语句的真值。因此,如果我们认定命题逻辑中的实质蕴含是一个真值函项逻辑连接词,那么这个连接词就仅仅由子语句的真值而非意义决定。(即便是非经典逻辑,只要我们接受一种外延式的语义值的说法,即,允许共指称(等值)项替换保持整体真值(或者其它语义值)不变,那么这个规则就依然需要被遵守。)

  至于为什么经典逻辑要采用真值函项逻辑,这是因为真值函项逻辑方便处理,不考虑语句内部更加细致的结构(就相关性而言)以及句和语篇的关系(就语境而言)。另一方面也是因为对于大部分情况,真值函项逻辑是足够使用的,比如说,简单的逻辑推理以及数学证明中大多不需要考虑真值函项逻辑中不相干的情况,因为我们所证明的东西必然是相干的东西。而大多数情况下,我们分析的对象就在一个给定的语境中,我们也没有必要忽然把这个东西上升到一个关于别的可能用语境下的讨论。

  另一方面,显然日常语言中的「如果…那么…」不完全是一个真值函项连接词,这一点由蕴含悖论即可以得出。所以蕴含悖论从这个意义上来说不构成悖论,而仅仅是告诉了我们「自然语言中的『如果…那么… 』不是一个真值函项连接词」而已,其实这样的词在日常语言中有很多。比如说「但是」:「我爱她,但是她不爱我」是可以接受的语句(虽然不一定为真,也不一定恰当),而「我爱她,但是我爱她」则是根本不可以接受的(没人能理解你这个「但是」转折在哪里了)。事实上,任何情况下我们都可以用语句连接词「并且」来替换「但是」,并且保持语句的真,反之则值得商榷(如果恰当性算是语义值的话则不行,但是「不恰当」和「为假」并不是完全相同的概念)。这体现出「但是」和「且」的关系是类似而不同的,它们或许具有相同的真值条件,但是有着不通的隐含推论(当然不是纯粹真值逻辑的推论,而是语用上的实用推论)。所以,试图通过真值函项的方式直接还原所有自然语言连接词本来就是一个非常勉强的事情,但是,我们不能因此说这种还原是没有价值的,因为它似乎的确给出了一个必要条件,抛开反事实条件句不谈,日常语言中的一般条件句成立的必要条件是:将对应的蕴含算子替换成实质蕴含后,新的条件句依然为真。(反事实条件句是指那种前件明显和事实相反的条件句,英语中用虚拟语气写的基本都是反事实条件句,比如说「如果我是你,那么我就不会这样做」,前件显然(在任何情况下)都不是真的,但是这个条件句根据语境并不必然为真。)

  第一句中,A 和 B 都是作为句子的名称出现。而第二句中,A 和 B 都是句子本身。有什么区别呢?我们可以说「戴德金切割定理推出确界存在定理」,但是不能说「如果戴德金切割定理,那么确界存在定理」。「推出」是一个二元谓词,而「如果…那么…」是一个二元逻辑连接词。「戴德金切割定理」可以作为它所指代的那个数学命题 p 的名称,但是数学命题 p 本身,如果不严格地使用,也可以作为它自己的名称。当然,更准确的说是「p」能作为 p 的名称。因此我们应该说:

  相对应地,「如果今天下雨,那么地会湿」,和「因为今天下雨,所以地会湿」则是正确的表述。有逻辑学家主张「如果…那么…」本身的真值条件非常直观,不需要进一步辩护,只是人们经常将其和「因为…所以…」以及「推出」混淆罢了。

  第一个公式表示,假蕴含任意命题是一个系统内可证明的公式(可以由空集推出),而第二个表示矛盾能够通过系统推出一切(无论真假)。虽然根据演绎定理,两个式子在命题逻辑中是完全同义的。

  前者表示,「任何命题蕴含真」这个命题是系统内可证明的定理,而后者是由于表示真在系统内是可证的,进而,无论添加任何前提之后,真都是系统内可证的。

  事实上,通过对于第二组表达式的讨论,我们可以明白困难在哪里:当我们观测到这朵花是红色的时候,「这朵花是红色的」这个命题就不是一个真值开放的语句,而是一个真值封闭的语句,换而言之,这个语句和单纯的真已经没有区别了,因为真值函项逻辑只在乎命题的真值,而不在意它的意义,因为它研究的是语句之间的结构,而不是语句内结构。进而,这个后天综合命题就成为了一个真理被添加入了系统中,成为了一个系统内的永真式。而任何永真式在系统内都是一个定理。换而言之,将一个自然语言中的推理命题逻辑化的过程,尤其是将一个确定真值的语句命题化的过程,实际上就是将它除了真值之外的一切信息抹去的过程。

  另外一个需要额外说明的事情是,「真」概念的朴素理解对于理解规定性的「如果……那么……」真值表是有害的。在朴素的理解下,我们说一个简单命题,比如说「雪是白色的」,是真的,是因为我们可以找到对应的事实与之相符。合取命题还好,仅仅是要求两个事实同时出现,但是在析取的情况下问题就已经没有那么简单了:当我们说「今天会下雨或者今天不会下雨的时候」,这个命题为真当然是因为它和事实相符,但是即便我说的不是今天而是一万年之后,那个未来事实尚未出现,这个命题在经典逻辑中依然是真的(一些非经典逻辑则会采取不同的处理方式)。换而言之,这个复合命题的真并不是「符合」出来的,而是约定出来的。同样地,我们在解释蕴涵连接词的真值表的时候仅仅也是一种约定的方式。我们当然在别的不同的逻辑里面有别的不同的约定方式,那些约定方式或许可以避免这种让你觉得不自然的地方。

  論域是所有實數,∀x表示對每一個實數,必須對每一個實數x,都有x2→x²4,那麼

  這時可以取x=-3,那x2是假命題,x²4是线按上表是假命題,

  ∀x(x2→x²4)也成了假命題(因為存在一個值使得x2→x²4不成立)。

  這時可以取x=-1,那x2是假命題,x²4是假命題,x2→x²4是按上表是假命題,

  例如,若1+1=3,則太陽從西方昇起。這樣看起有些怪的命題也成為真命題。

  很简单…套用我们老师的话了。给出一个假设:只要你赢了,我就给你100块钱。此命题在什么时候为假,只有在你赢了,我没给钱的时候为假。而,当你赢了,我又给你钱的时候为真,或者当你输了的时候,无论给不给你钱都为真。因为给的假设前提只规定了你赢的情况,而没有规定输的情况,所以如果你输的话,我给不给你钱,假设都为线

  来表示实质蕴涵,即自然语言中“如果……则……”在形式逻辑中的一种符号表示,也即你问题中的

  ①中,前件“我是国家主席”这句话为假(因为事实上我不是国家主席),后件“我有中国国籍”为真(因为的确如此),而整句话当然是真的,因为凡是国家主席都是有中国国籍的。这列举了p

  如上所述,“仅当前件p为真而后件q为假时,如果p那么q才是假的”这条规则是被规定的,这一规定是出于形式化处理和刻画“如果……则……”这样的自然语言句子的考量。在最开始时,人们发现这种规定有很多好处,因为它只需要关注真假,不需要关心具体内容,把内容抽取出来而进行一般地形式化处理,可以更方便人们进行推理,凡是遇到这种直陈条件句都可以做这样的处理。也正是由于只关心真假,导致了所谓的“实质蕴涵悖论”,又称“实质蕴涵怪论”,最明显的有两条:假命题蕴涵任何命题 (¬

  q) ),真命题被任何命题所蕴涵(p→ (q→p) ),这些都是可以从蕴涵算子的真值表中得以验证的。之所以称为“悖论”或“怪论”,是因为它有悖于我们的日常理解,让人觉得很奇怪,比如你说的例子“假如我是外星人,那么苏格拉底就是永生的”,这句话中前件和后件之间根本就没有任何联系,风马牛不相及。这些悖论是在后来被C.I.Lewis在1912年从罗素和怀特海的《Principia Mathematica》一书中发现的,规定的时候人们并不知道。尽管实质蕴涵存在悖论,但它仍不失为一种比较好的刻画“如果……则……”这样句子的一种手法。为了避免这些实质蕴涵悖论,C.I. Lewis等人提出了严格蕴涵(Strict Implication),即“必然的实质蕴涵”,但也有“严格蕴涵悖论”;Routley和Meyer等人提出了相干蕴涵(Relevant Implication,也有翻译成“相关蕴涵”的),将前后件的相关性考虑进去,但也有“相关蕴涵悖论”。

  如果要问为什么这是对的,这和问为什么Modus Ponens是对的,或者为什么某条集合论公理是对的没有本质区别。语义上你不能解释清楚MP规则为什么是”正确“的,或者选择公理为什么是”正确“的,这里亦然。此外,无论有没有这个规则,这里压根就没有什么悖论。

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  蕴涵是符号语言,是形式系统里的符号,“如果...,那么...。”是自然语言,属于非形式系统。

  根据这个定义,我们可以列出线)p真,q真,“p蕴涵q”为线)p真,q假,“p蕴涵q”为假;

  为什么形式系统内要如此定义蕴涵呢?目的是表述非形式系统中的自然语言“如果...,那么...。

  结论:q线 前提: “如果A是工人,那么A每月可以从工厂拿到工资” ,“A是工人” 结论:“A每月可以从工厂拿到工资” 例子2 前提: “如果3+2=5,那么故宫在北京”, “3+2=5” 结论:“故宫在北京” (尽管 “如果3+2=5,那么故宫在北京”事实上有毛病,但这是前提,从 “如果3+2=5,那么故宫在北京”, “3+2=5”两个前提中确实可以得出“故宫在北京”。)

  结论:q的线 前提: “如果A是工人,那么A每月可以从工厂拿到钱” ,“A不是工人” 结论:“A每月可以从工厂拿到工资”不确定 (A有可能是个股东,股东每月可以从工厂拿到钱,A有可能是失业人员,失业人员每月不可以从工厂拿到钱。总之,A不是工人,能不能每月从工厂拿到钱不确定。) 例子2 前提: “如果3+2=6,那么故宫在北京”, “3+2=5” 结论:“故宫在北京”的真假不确定 (尽管事实上故宫确实在北京,但从 “如果3+2=6,那么故宫在北京”, “3+2=5”两个前提中得不出“故宫在北京”或者“故宫不在北京”。)

  例子1 前提: “如果A是工人,那么A每月可以从工厂拿到工资” ,“A不可以每月从工厂拿到工资” 结论:“A不是工人” 例子2 前提: “如果3+2=5,那么故宫在北京”, “故宫不在北京” 结论:“3+2不等于5” (尽管事实上3+2=5,但从 “如果3+2=5,那么故宫在北京”, “故宫不在北京”两个前提中得出“3+2不等于5”。)

  结论:p的线 前提: “如果A是工人,那么A每月可以从工厂拿到工资” ,“A每月从工厂拿到工资” 结论:“A是工人”不确定 (A有可能是个股东,股东每月可以从工厂拿到钱。总之A每月从工厂拿到工资,是不是工人不确定。) 例子2 前提: “如果3+2=5,那么故宫在北京”, “故宫在北京” 结论:“3+2=5”的真假不确定 (尽管事实上3+2=5,但从 “如果3+2=5,那么故宫在北京”, “故宫在北京”两个前提中得不出“3+2等于5”或者“3+2不等于5”。)

  语形有效: 在真值表中,“p蕴涵q”为真,p为真,则q为真。所以q是“p蕴涵q”,p的语法后承。 语义有效:在真值表中,使得“p蕴涵q”为真,p为真的所有解释是p真,q真,“p蕴涵q”为真,此时q为真。所以q是“p蕴涵q”,p的语义后承。 所以从“p蕴涵q”,p真,得出q真在形式系统内有效。

  语形有效: 在真值表中,“p蕴涵q”为真,p为假,则q为真,或q为假。所以q为真或q为假是“p蕴涵q”,p的语法后承。 语义有效:在真值表中,使得“p蕴涵q”为真,p为假的所有解释是“p假,q真,’p蕴涵q‘为真”,“p假,q真,‘p蕴涵q’为真”,此时q为真,或者q为假。所以“q为真”或者“q为假”不是“p蕴涵q”,p假的语义后承。

  语形有效: 在真值表中,“p蕴涵q”为真,q为假,则p为真。所以p 为真是“p蕴涵q”,p的语法后承。 语义有效:在真值表中,使得“p蕴涵q”为线;的所有解释是“p假,q假,p蕴涵q为真”,此时p为假,也就是非p为真。所以“p为假”是“p蕴涵q”,q假的语义后承。 所以从“p蕴涵q”,q假,得出p假在形式系统内有效。

  语形有效: 在真值表中,“p蕴涵q”为真,q为真,则p为真或p为假。所以p 为真或p为假是“p蕴涵q”,p的语法后承。 语义有效:在真值表中,使得“p蕴涵q为真”,“q为线;的所有解释是“p真,q真,p蕴涵q为真”和“p假,q真,p蕴涵q为真”,此时p可以是真,也可以是假。所以“p为真”或者“p为假”不是“p蕴涵q”,q真的语义后承。

  例子 前提: “3+2=5”,“故宫在北京” 结论:“如果3+2=6,那么故宫不在北京”为假 (一般认为“3+2=6”与故宫在不在北京没有关系!)

  所以在非形式系统中:无法从p,q的真假中,得出“如果p,那么q”的线、 在形式系统中,前提是p、q ,

  语形有效: 在真值表中,p为真,q为真,则“p蕴涵q”为真。所以“p蕴涵q”是p、q的语法后承。 语义有效:在真值表中,使得“p为真”,“q为线;的所有解释是“p真,q真,p蕴涵q为真”,此时“p蕴涵q为真”,所以“p蕴涵q为真”是“p为真”,“q为真”的语义后承。 所以从p真,q真得出“p蕴涵q”在形式系统内有效。

  语形有效: 在真值表中,p为假,q为假,则“p蕴涵q”为真。所以“p蕴涵q”是p假、q假的语法后承。 语义有效:在真值表中,使得“p为假”,“q为假的所有解释是“p假,q假,p蕴涵q为真”,此时“p蕴涵q为真”,所以“p蕴涵q为真”是“p为假”,“q为假”的语义后承。 所以从p假,q假得出“p蕴涵q”在形式系统内有效。

  语形有效: 在真值表中,p为假,q为真,则“p蕴涵q”为真。所以“p蕴涵q”是p、q的语法后承。 语义有效:在真值表中,使得“p为假”,“q为线;的所有解释是“p假,q真,p蕴涵q为真”,此时“p蕴涵q为真”,所以“p蕴涵q为真”是p假”,q真的语义后承。 所以从p假,q真得出“p蕴涵q”在形式系统内有效。

  语形有效: 在真值表中,p为假,q为真,则“p蕴涵q”为假。所以“p蕴涵q”为假是p真、q假的语法后承。 语义有效:在真值表中,使得“p为线;的所有解释是“p真,q假,p蕴涵q为假”,此时“p蕴涵q为假”,所以“p蕴涵q为假”是“p为假”,“q为真”的语义后承。 所以从p真,q假得出“p蕴涵q”在形式系统内有效。

  (三)在非形式系统中,仅仅知道p、q的真假情况,得不出“如果p,那么q”的真假情况,但是在形式系统中,由于定义了蕴涵是“仅当p线;为假”,以及形式系统内有效是语形有效和语义有效,所以通过真值表,仅仅知道p、q的真假情况,得出“p蕴涵q的真假情况。

  在形式系统中把蕴涵定义为“仅当p线;为假”,导致了在仅仅知道p、q真假情况下,就可以得出“p蕴涵q的真假,但在非形式系统中,仅仅知道p、q真假情况,是得不出“如果p,那么q”的真假情况。

  事实上,当我们说“如果p,那么q”的时候,我们不仅仅需要知道p,q的真假情况,还需要p、q之间的关系,p、q的真假情况是否为必然的关系(即从p的真假情况必然得出q的真假情况)。也就是说:

  说点直白的,毕竟楼主的困惑主要是语义上的。在技术层面,我说的可能不对,但至少是有助于理解的。楼主也不要困惑太多,教逻辑课的时候如何让人弄明白这个问题,是很困难的。很多逻辑大师都会困惑到底如何把这个讲明白。

  我们用:“如果地球上只有一个人,那么北京是中国的首都” 作为例子。首先,楼主不要太在意“推出”这个词。“如果A,那么B”,跟我们平常说的从一个东西里推出或者推论出另一个东西很不一样。按照我们日常的理解,从“地球上只有一个人”显然推不出“北京是中国的首都”。这俩事儿完全不挨着,何况前者还是错的。

  然后我们来看看这句话说了什么。这句话说的是,如果某个事情发生,那么另一个事情发生。如果天下雨,那么地就湿。如果我吃了午饭,那么我就不饿。假如一个人告诉你,

  在什么情况下这句线块钱,但过了一周还没找到女朋友,你就要去退钱了。他骗你了啊。但假如你从开始就不信,然后没给他钱。然后呢?然后就没有然后了。你连钱都没给他,当然没法说他是骗子。

  所以,“如果A,那么B”这样的句子,你可以理解成,如果A发生,那么B就发生。它压根没说A要是不发生会怎么样。所以,只有在A确实发生了,但B没发生的情况下,这句话才是假的。

  来补充一句上学期数理逻辑老师说的话好了 w 我觉得这样更容易解释清楚(至少我是这么接受的

  “日常生活中使用的 if A then B 并不是数理逻辑中的 A → B 而是 A&B”。

  实质蕴涵悖论:任何带有错误前件的直陈条件句都是对的。比如“假如我是外星人,那么苏格拉底就是永生的”将是对的

  这里的「对/错」仅仅是「命题真值是真还是假」这样的含义。你想把自然语言中的「对/错」跟 truth value 绑定,在 propositional logic 里你还可以这么做,那 3-value logic 呢?Fuzzy logic 呢?

  故事一,主角不是外星人,这个故事里的苏格拉底是不是永生的我们不知道,不可证明也不可证否。

  故事二,主角是外星人,根据 modus ponens 我们可以证明这个故事里的苏格拉底是永生的。

  形式逻辑的语法一旦确立,其语言现象便是机械世界里的现象。这种现象跟「鼠标点一下红叉窗口就关闭了」这个现象的真实性一样。如果后者是假象,前者也不会多么真实。

  诸多描述「真实」世界的理论,其价值判断方法是,它们与真实世界的现象在多大程度上是同构的。

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