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命题模态逻辑-北京大学哲学系

发布时间:2019-08-01 23:19 来源:未知 编辑:admin

  命题模态逻辑-北京大学哲学系_哲学_高等教育_教育专区。命题模态逻辑-北京大学哲学系

  背景 什么是 “模态” 可能世界语义 公理及证明系统们 (命题) 模态逻辑 哲学数学计算机中的逻辑课程 (2016 年秋) 王彦晶 北大哲学系 2016 年 11 月 17 日 (世界哲学日) 王彦晶 北大哲学系: (命题) 模态逻辑 背景 什么是 “模态” 可能世界语义 公理及证明系统们 背景 什么是 “模态” 可能世界语义 公理及证明系统们 王彦晶 北大哲学系: (命题) 模态逻辑 背景 什么是 “模态” 可能世界语义 公理及证明系统们 世界哲学日 “今年,我们于国际宽容日次日庆祝世界哲学日。这样的 机缘巧合,意义非同寻常,因为宽容与哲学紧密相连。哲 学受益于尊重、倾听和理解那些丰富着我们存在方式的多 式多样的观点、理念与文化。同宽容一样,哲学也是一门 在尊重彼此权利和共同价值的基础上共同生活的艺术。哲 学还是一种以批判式眼光看世界的能力,这样的眼光因接 纳他人的观点而更为敏锐,因思想、意识和信仰的自由而 更为坚定。 王彦晶 北大哲学系: (命题) 模态逻辑 背景 什么是 “模态” 可能世界语义 公理及证明系统们 世界哲学日 正因如此,哲学不仅仅是学校里的一门学科专业,也是有 助于更好、更人道地生活的日常实践。哲学追问自幼形 成,经过不断学习和完善,在推动公共辩论并捍卫人文主 义方面发挥着根本性作用,而人文主义在当今世界被暴力 和各种紧张局势冲击得七零八落。哲学不提供任何现成可 用的答案,却为思考世界、探寻自我指引出永恒求索之 路。在这条道路上,宽容既是一种道德品质,也是一种实 用的对话手段。它与宣称一切均无对错的素朴相对主义毫 不相干,它是对倾听的一种个人化要求,因为宽容建立在 捍卫尊严和自由之普遍原则的坚定承诺之上,这种要求愈 发强烈。 王彦晶 北大哲学系: (命题) 模态逻辑 背景 什么是 “模态” 可能世界语义 公理及证明系统们 世界哲学日 教科文组织今年开展亚里士多德和莱布尼兹 (1646-1716) 的周年纪念活动,这两位杰出的哲学家都为形而上学和科 学、逻辑学和伦理学的发展作出过贡献。他们虽然所处时 代不同、文化背景迥异,却有一个共同点:将哲学置于公 共生活的核心位置,作为有尊严的自由生活的根本要素。 现在轮到我们来弘扬这一精神,勇于向自由、开放和宽容 的思想敞开大门。以此对话为基础,我们可以在公民、社 会和国家之间建立起更强有力的合作,作为和平的永久基 石。” —–伊琳娜·博科娃 (UNESCO Director-General) 王彦晶 北大哲学系: (命题) 模态逻辑 背景 背景 什么是 “模态” 可能世界语义 公理及证明系统们 实质蕴含与严格蕴含 p → q := ?p ∨ q, 等价于?(p ∧ ?q). 实质蕴含 “怪论”: ? p → (q → p) ? (p → q) ∨ (q → r) ? ?(p → q) → (p ∧ ?q) ? (p ∧ ?p) → q, p → (q ∨ ?q) 如果意大利是法国的一部分的话, 罗马就在法国 (真?) vs.如果意大 利是法国的一部分的话, 北京就在法国 (假?). 似乎有时候蕴含的真 值不完全由前件及后件的真值决定! C. I. Lewis (C. 刘): 严格蕴含 (p q): 不可能 p 真而 q 假. 等价的: 必 然若 p 真则 q 也真 (必然 p → q). 不能完全解决上面的所有怪论, 但 却引出了一个重要的新领域: 模态逻辑 (Modal Logic). 王彦晶 北大哲学系: (命题) 模态逻辑 背景 什么是 “模态” 可能世界语义 公理及证明系统们 亚里士多德的模态三段论 Barbara 的 LXL 模态版本 (亚里士多德认为有效) ? All B are necessarily A, ? All C are B, ? therefore: All C are necessarily A. Barbara 的 XLL 版本 (亚里士多德认为不有效): ? All B are A, ? All C are necessarily B, ? therefore: All C are necessarily A. 王彦晶 北大哲学系: (命题) 模态逻辑 什么是 “模态” 背景 什么是 “模态” 可能世界语义 公理及证明系统们 什么是 “模态”(modality) 她有男朋友. “她有男朋友” 为真的不同 “模式”(用模态词表达): ? 可能 她有男朋友. ? 过去 她有男朋友. ? 我知道 她有男朋友 ? 她被允许 有男朋友. ? 她被证明 确实有男朋友 ? 她在相亲 3 次之后 就有男朋友了. 王彦晶 北大哲学系: (命题) 模态逻辑 背景 什么是 “模态” 可能世界语义 公理及证明系统们 什么是 “模态”(modality) 她有男朋友. “她有男朋友” 为真的不同 “模式”(用模态词表达): ? 可能 她有男朋友. (基本模态逻辑) ? 过去 她有男朋友. (时态逻辑 Temporal Logic) ? 我知道 她有男朋友. (知识逻辑 Epistemic Logic ) ? 她被允许 有男朋友. (道义逻辑 Deontic Logic) ? 她被证明 确实有男朋友. (可证性逻辑 Provability Logic) ? 她在相亲 3 次之后 就有男朋友了.(动态逻辑 Dynamic Logic) 王彦晶 北大哲学系: (命题) 模态逻辑 可能世界语义 背景 什么是 “模态” 可能世界语义 公理及证明系统们 基本模态逻辑的语言 最基本的模态逻辑语言 (p ∈ PV): φ ::= p ?φ (φ ∧ φ) 2φ ? 2 读 “Box”, 在基本的模态逻辑中代表 “必然” ? 可以定义 “可能 φ” 为 “并非必然并非 φ” (?2?φ), 记做 3φ, 读 作 “Diamond”. “钻石是并非永远并非” ? 不同领域也把 2 写成不同的东西: K (知识), B (信念), G (永远), O (义务), [π ] (程序 π 保证).... 2p 的真值不完全由 p 的线 并不是 ? 这样的一元逻辑连 接词. 王彦晶 北大哲学系: (命题) 模态逻辑 背景 什么是 “模态” 可能世界语义 公理及证明系统们 可能世界语义 (possible world semantics) 一个克里普克模型 (Kripke Model) M 由三个东西组成 ?W, R, V?: ? W 是一个非空集合 (一堆可能世界或者可能的状态). ? R 是 W 上的一个可达关系 (accessibility relation) (wRv 表示如 果现实世界是 w 那么 v 是它的一个可能的替代世界) ? V : W → 2PV 确定每个可能世界上哪些基本命题为真哪些为假. 满足关系 ? 定义在点模型(pointed model) 上 M, w (模型 + 一个 “真实世界”), 只有在确定一个世界后才能完全确定所有公式的真假: M, w ? p ? p ∈ V(w) M, w ? ?φ ? M, w ? φ M, w ? φ ∧ ψ ? M, w ? φ 且M, w ? ψ M, w ? 2φ ? 对所有的v, 如果wRv 则M, v ? φ 王彦晶 北大哲学系: (命题) 模态逻辑 背景 什么是 “模态” 可能世界语义 公理及证明系统们 例子 M, w ? 3φ ?? M, w ? ?2?φ ?? 存在v : wRv 且M, v ? φ M, w ? 2φ ?? M, w ? ?3?φ M, w ? ?2φ ?? M, w ? 3?φ M, w ? 2?φ ?? M, w ? ?3φ 考虑如下模型中哪些地方 23p 为线p 为真? G {p} { { {{ {{ { {{ {{ { { {{   }{{ G {p, q} {q} ? ? 2(p → q) 和 p → 2q 呢? “你只吃了 1 个馒头则必然你吃的馒头少 于 2 个” 这句话应该用哪个模态逻辑公式表示? 王彦晶 北大哲学系: (命题) 模态逻辑 背景 什么是 “模态” 可能世界语义 公理及证明系统们 模态逻辑的语义也可以游戏化 (回忆命题逻辑的语义游戏) 给定一个对于基本命题变元的赋值 V, 和一个公式 φ, 定义一个语义 游戏 GV,φ : ? 游戏者: 支持者 (Proponent) 和反对者 (Opponent) ? 游戏的状态: φ 及其子公式 ? 游戏的规则: ? P 首先断言公式 φ (在 V 上是真的) ? 如果当前公式是 ψ ∨ ψ ′ 则 P 可以选择 ψ 或 ψ 其中一个继续 ? 如果当前公式是 ?ψ 则 P 和 O 的角色互换 从 ψ 继续 ? 游戏的输赢条件: 状态是 p ∈ PV, 若 V(p) = 1 则 (当前的)P 赢, 反之则 (当前的)O 赢. 这种游戏符合 Zemelo 定理的要求, 肯定有一个玩家有必胜策略. 王彦晶 北大哲学系: (命题) 模态逻辑 背景 什么是 “模态” 可能世界语义 公理及证明系统们 给定点模型m,w 和 φ 我们可以玩一个游戏 ? 游戏者: 支持者 (Proponent) 和反对者 (Opponent) ? 游戏的状态 ?v, ψ ?, 其中 v 在 M 中, ψ 是 φ 的子公式, 初始状 态是 ?w, φ?. ? 游戏的规则: ? P 首先断言公式 φ 在 M, w 上是真的. ? 如果当前公式是 ψ ∨ ψ ′ 则 P 可以选择 ψ 或 ψ 其中一个继续 ? 如果当前公式是 ?ψ 则 P 和 O 的角色互换从 ψ 继续 ? 如果当前公式是 2ψ 则 O 选择一个 v′ 使得 vRv′ , 并且改变游戏状态 为 ?v′ , ψ ? 继续. ? 游戏的输赢条件: 状态是 p ∈ PV, 若 V(p) = 1 则 (当前的)P 赢, 反之则 (当前的)O 赢. 可以证明: M, w ? φ ?? 在相应的游戏里 P 有一个必胜策略. 王彦晶 北大哲学系: (命题) 模态逻辑 背景 什么是 “模态” 可能世界语义 公理及证明系统们 克里普克模型是一种关系模型 关系模型可以用来刻画各种各样的东西, 例如: ? 理论计算机: 状态转换系统 (labelled transition systems). ? 博弈论: 扩展博弈树 (extensive-form games). ? 语言学: 句法结构树 (parsing trees). 王彦晶 北大哲学系: (命题) 模态逻辑 背景 什么是 “模态” 可能世界语义 公理及证明系统们 有效性 (validity) 和框架 (frame): 不同层次的有效性 框架: 没有赋值函数 V 的模型 ?W, R? (模型的骨架). 我们希望逻辑真 理与基本命题的内容无关, 所以可以考虑框架上有效的公式. 记法 (用 F 表示框架, 用 C 表示某些框架的类): 记法 M, w ? φ M?φ F, w ? φ F ?φ C?φ ?φ 王彦晶 北大哲学系: (命题) 模态逻辑 定义 对所有 w: M, w ? φ 对所有 V: F , V, w ? φ 对所有 V, 所有 w: F , V, w ? φ 对所有 C 中的框架 F : F ? φ 对所有框架 F ? φ 说法 φ 在点模型 M, w 上为真 φ 在模型 M 上有效 φ 在点框架 F , w 上有效 φ 在框架 F 上有效 φ 在 C 上有效 φ 有效 背景 什么是 “模态” 可能世界语义 公理及证明系统们 实质蕴含与严格蕴含 令φ ? p ? (p ψ 为 2(φ → ψ ) 实质蕴含 “怪论” 是否对严格蕴含也成立? (q q) p) 不有效 r) 不有效 (q ∨ ?q) 还是有效的... (p ∧ ?q)不有效 q, p q) ∨ (q ? ?(p ? (p ∧ ?p) 相干逻辑 (Relevance Logic) 可以更进一步的处理这些怪论 (要求前 件和后件有语形的关系). 王彦晶 北大哲学系: (命题) 模态逻辑 公理及证明系统们 背景 什么是 “模态” 可能世界语义 公理及证明系统们 k 系统: 基本公理和规则 K 公理 2(φ → ψ ) → (2φ → 2ψ ). NEC 从 φ 得到 2φ (必然化规则). TAUT 命题逻辑的公理. MP 从 φ → ψ 及 φ 得到 ψ . 可靠性和完全性: Γ ?K φ ?? Γ ? φ Γ ? φ 定义为对任何的点模型如果 M, w ? Γ 则 M, w ? φ. 完全性证明: 还是对每个一致的公式集造个模型出来: 用所有极大一 致集作为可能世界, 在它们之间用语形的信息构造 R 关系: ΓR? ?? 对所有 2φ ∈ Γ 都有 φ ∈ ?. 王彦晶 北大哲学系: (命题) 模态逻辑 背景 什么是 “模态” 可能世界语义 公理及证明系统们 模态逻辑的一些重要公理 (可把 p 换成任意 φ 变成公理模式) 同一个公式在不同的模态解释下会有不同意义, 下面只是列举一些. T 2p → p B p → 23p D 2p → 3p 4 2p → 22p 必然的都是线?p) 来源于布劳威尔 (Brouwer) 来源于道义逻辑 (Ought implies can) 永远意味着永远永远 你知道你不知道什么 L?b 定理的模态形式 (可证性逻辑) 未来不分叉 5 ?2p → 2?2p L 2(2p → p) → 2p .3 (3p ∧ 3q) → 3(p ∧ q) ∨ 3(p ∧ 3q) ∨ 3(q ∧ 3p) 王彦晶 北大哲学系: (命题) 模态逻辑 背景 什么是 “模态” 可能世界语义 公理及证明系统们 框架及其性质 我们说公理 φ 对应于框架性质 X 如果对任意框架 F : φ 在框架 F 上有效 ?? F 有性质 X: T 2p → p 自反性 (Re?exivity): 任意 x, xRx B p → 23p 对称性 (Symmetry): 任意 x, y, 若 xRy 则 yRx D 2p → 3p 序列性 (Seriality): 任意 x, 存在 y 使得 xRy 4 2p → 22p 传递性 (Transitivity) 任意 xyz, 若 xRy 且 yRz 则 xRz 5 ?2p → 2?2p 欧几里得性 (Euclidean property) 任意 xyz 若 xRy 且 xRz 则 yRz 来源于《几何原本》: things which equal the same thing also equal one another. 王彦晶 北大哲学系: (命题) 模态逻辑 背景 什么是 “模态” 可能世界语义 公理及证明系统们 不同的证明系统 基于不同的公理有不同的证明系统: KB 系统 K+B 公理模式 S4 : K+T+4 S5 : K+T+4+5=K+T+5=K+T+B+4 (推理能力一样) 对相应框架类上的有效式可得到一系列完全性结果. 例如, 令 Cref,trans 为自反传递框架的类, 我们有: Γ ?Cref,trans φ ?? Γ ?S4 φ 在完全性证明中, 还是造模型, 但是要保证造出来的模型的框架在我 们想要的类里面 (具有我们想要的性质), 可以用公理去做这一点, 王彦晶 北大哲学系: (命题) 模态逻辑 背景 什么是 “模态” 可能世界语义 公理及证明系统们 一个模态系统可以对应不同的框架类完全 反对称 (anti-symmetry): 对任意 x,y: 如果 xRy 且 yRx 则有 x = y. S4 系统 (K+T+4) 对于自反传递 + 反对称的框架类也是可靠完全的. Γ ?Cref,trans,antisym φ ?? Γ ?S4 φ 对比刚才的结果 Cref,trans,antisym ? Cref,trans , 完全性证明更困难了! 其实, 反对称的性质是不能被模态所定义的 (没有一个模态公式与之 相对应)! 下节课告诉大家为什么. 王彦晶 北大哲学系: (命题) 模态逻辑

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