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数理逻辑=﹥ -这两个符号有什么区别?

发布时间:2019-08-05 20:55 来源:未知 编辑:admin

  ,仅在数学证明中使用过。这个符号不是一个标准命题形式语言中的符号。而是一个日常语言中的符号,它的意义是模糊的。

  (\models)。语义后承在一般情况下是连接一个命题集合和一个命题。如果,在任何一种语义赋值下,只要命题集合

  (\vdash)。句法后承的用法和语义后承类似,也是连接一个命题集合和一个命题,如

  。具体来说,一个证明是一个命题序列,其中每个命题要么是公理,要么是前提,要么是由前面的命题通过证明规则得到的。其中最后一个称为结论。

  实质蕴含(material implication / material conditional),符号是

  (\rightarrow) 。实质蕴含是一个命题逻辑中的二元算子,连接的是两个命题。在句法系统中,由 Hilbert 的前两条公理完全刻画,由第三条公理刻画它和否定的关系。[1] 在语义系统中, 我们说

  。就是说,如果一个实质蕴含条件句成立,就是说,前件(上面的 p)为真的情况下,后件(上面的 q)不可能为假。[2]

  ,其实就是单纯表示推出,这种推出是没有严格定义的,一般情况下在简单的数学系统中,由于系统的强完全性和强可靠性[3],句法后承和语义后承等价,那么这时推出就同时都是两种推出。但是,据我看到 wiki 中的说法,

  只表示逻辑后承,但是没有具体区分是语义后承还是句法后承,所以对于完全性和可靠性不成立的系统,这个符号就是模糊的。

  当然,前面的语义后承和句法后承也不是数理逻辑系统中的符号,这是元语言符号。并且,在句法系统中不谈论真假,在语义系统中不谈论证明。

  都是元语言中用来代表合式公式的符号。换而言之,这个系统中有无穷多条公理。

  (从空集出发能够推出,即表示在系统内可证),那么我们要写出如下命题序列:

  (即,是空集的语义后承,或者说,是永真的)。那么我们只需要说明,由于在 p 为真和 p 为假的情况下,根据实质蕴含算子的语义规则,

  。而弱完全性是,方式为真的公式都是可证的;弱可靠性是,凡是可证的公式都是为真的。 在有完全性和可靠性的基础上,没有必要在实际运用中区分两种推出。

  感谢@罗心澄关于那几个符号的对比。补充一下,“语义后承”的后面是可以接一个命题集合的。只要后面集合中一个命题被满足就行。

  下面我说下“=”的意义。在数理逻辑中,它定义了Sequence这个概念,比如

  命题集合。不过它表示一个推理过程,这个过程可能是真,可能是假,要验证一个Sequence的真伪就要用Sequence Calculus进行推导,直到推出的每一个原子命题都为真。具体的推到规则在

  中的第一章(命题逻辑)和第四章(谓词逻辑),当然谓词逻辑的推导过程要复杂一些。

  另外需要注意的是,这是一个语义上的推倒,只不过在谓词逻辑和命题逻辑中,语义和语法是等价的(在我发的课件中Satz 4.6中描述的完整性)。相应的,要验证一个Sequence Calculus的正确性,只能通过找对应的Interpretation。

  可能存在多中推倒可能,所以只要有一个推导出的全是原子Sequence,那么这个Sequence就是正确的。

  ,仅在数学证明中使用过。这个符号不是一个标准命题形式语言中的符号。而是一个日常语言中的符号,它的意义是模糊的。

  举例:将语义世界理解为我们所生活的现实世界,语形世界则可以是一门描述这个现实世界的语言,例如英语,它是一个由字母和语法规则构成的形式系统,两者在个体上的对应体现为现实的苹果和单词“Apple”。

  一些重要的定理正是证明这两个世界的对应性,例如,按照英语的字母和语法规则推出单词Dog,则现实世界能够推出有一个实物与其对应,这应该是完全性(记不清楚了)。

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