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还有一个记不清了是一个外星人拿着箱子叫人猜金币

发布时间:2019-08-10 12:30 来源:未知 编辑:admin

  芝诺悖论是古希腊数学家芝诺(Zeno of Elea)提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论.这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知.芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说.这些悖论中最著名的两个是:“阿喀琉斯跑不过乌龟”和“飞矢不动”.这些方法现在可以用微积分(无限)的概念解释.

  集合可以分为两类:第一类集合的特征是:集合本身又是集合中的元素,例如当时人们经常说的“所有集合所成的集合”;第二类集合的特征是:集合本身不是集合的元素,例如直线上点的集合.显然,一个集合必须是并且只能是这两类集合中的一类.现在假定R是所有第二类集合所成的集合.那么,R是哪一类的集合呢?

  如果R是第一类的,R是自己的元素,但由定义,R只由第二类集合组成,于是R又是第二类集合;如果R是第二类集合,那么,由R的定义,R必须是R的元素,从而R又是第一类集合.总之,左右为难,无法给出回答.这就是著名的“罗素悖论”.

  唐·吉诃德的仆人桑乔·潘萨跑到一个小岛上,成了这个岛的国王.他颁布了一条奇怪的法律:每一个到达这个岛的人都必须回答一个问题:“你到这里来做什么?”如果回答对了,就允许他在岛上游玩,而如果答错了,就要把他绞死.对于每一个到岛上来的人,或者是尽兴地玩,或者是被吊上绞架.有多少人敢冒死到这岛上去玩呢?一天,有一个胆大包天的人来了,他照例被问了这个问题,而这个人的回答是:“我到这里来是要被绞死的.”请问桑乔·潘萨是让他在岛上玩,还是把他绞死呢?如果应该让他在岛上游玩,那就与他说“要被绞死”的话不相符合,这就是说,他说“要被绞死”是错话.既然他说错了,就应该被处绞刑.但如果桑乔·潘萨要把他绞死呢?这时他说的“要被绞死”就与事实相符,从而就是对的,既然他答对了,就不该被绞死,而应该让他在岛上玩.小岛的国王发现,他的法律无法执行,因为不管怎么执行,都使法律受到破坏.他思索再三,最后让卫兵把他放了,并且宣布这条法律作废.这又是一条悖论.

  由著名数学家伯特兰·罗素(Russel,1872—1970)提出的悖论与之相似:

  在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉满全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人.可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀,你们看他能不能给他自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸,而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸.

  因为,如果把每个人看成一个集合,这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象.那么,理发师宣称,他的元素,都是村里不属于自身的那些集合,并且村里所有不属于自身的集合都属于他.那么他是否属于他自己?这样就由理发师悖论得到了罗素悖论.反过来的变换也是成立的.

  说谎者悖论”和“说谎者循环”是与自然语言的表达方式密切相关的悖论,涉及真假、定义、名称、意义等语义方面的概念,这类悖论被称为“语义学悖论”.语义学悖论的实例很多,“格列林(K.Grelling)-纳尔逊(L.Nelson)悖论”就饶有趣味,它与形容词的应用有关:

  将形容词分为两类,一类称为“自谓的”,即可对于它们自身成立、对自己为真的.例如,形容词“Polysyllabic(多音节的)”本身是多音节的,“English(英文的)”本身是英文的,它们都是自谓的.另一类称为“它谓的”,即对于它们自身不成立、对自己不真的.例如,形容词“Monosyllabic(单音节的)”是它谓的,因为这个词不是一个单音节词;“英文的”也是它谓的,因为这个词是中文的而不是英文的.问题来了:形容词“它谓的”是不是它谓的?

  得到的结果是:如果“它谓的”是它谓的,那么会推出“它谓的”不是它谓的,反之亦然.导致了自相矛盾.

  另一类悖论涉及数学中的集合论,被称为“数学悖论”或“集合论悖论”.集合论是19世纪70-80年代由德国数学家康托尔创立,它建立在一种无限观——“实无限”的基础上.所谓“实无限”,即把“无限”作为一个已经完成了的观念实体来看待.例如,在集合论中用N={n:n是自然数}表示全体自然数的集合就是如此.需要指出的是,在此之前的几千年数学发展史中,占主导地位的是另一种无限观,即古希腊哲学家亚里士多德所主张的“潜无限”观念.所谓“潜无限”,是把“无限”作为一个不断发展着的、又永远无法完成的过程来看待.例如,把自然数看成一个不断延伸的无穷无尽的序列1,2,3,…,n,…就是如此.

  集合论是数学观念和数学方法上的一次革命性变革,由于它在解释旧的数学理论和发展新的数学理论方面都极为方便,因而逐渐为许多数学家所接受.然而,在康托尔创立集合论不久,他自己就发现了问题,这就是1899年的“康托尔悖论”,亦称“最大基数悖论”.与此同时,还发现了其他集合论悖论,最著名的是1901年的“罗素悖论”:

  把集合分成两类,凡是不以自身作为元素的集合称为正常集,(例如,自然数集N本身不是一个自然数,因此N是正常集.)凡是以自身作为元素的集合称为异常集.(例如,所有的非生物的集合F并非生物,因此F是异常集.)每个集合或者为正常集或者为异常集.设V为全体正常集所组成的集合,即V={x:x?埸x},那么V是不是正常集?

  如果V是正常集,由正常集的定义知V?埸V,又因V是全体正常集的集合,所以正常集V∈V,但这说明V不是正常集,是异常集;反之,如果V不是正常集,是异常集,那么由异常集的定义知V∈V,这说明V是全体正常集组成的集合V的元素,因而V又应该是正常集.

  罗素悖论揭示了一个严酷的事实:集合论是隐含着逻辑矛盾的,如果把数学建立在集合论的基础之上,将会使数学大厦从根基上产生深深的裂痕,这种裂痕甚至有可能使整座大厦倾覆.一石激起千层浪,一场关于数学基础问题的论战爆发了.

  在这场论战中,最为激进的是以荷兰数学家布劳威尔为代表的直觉主义学派,他们对集合论采取了全盘否定的态度,并认为“实无限”的观念是集合论悖论产生的根源.与此相反,另一些数学家走上了改良的道路,他们试图亡羊补牢,对集合论加以适当的修正,以避免悖论.这方面的代表性成果是公理集合论,它已成为现代数学的一个重要分支.公理集合论采用公理化的方法来刻画集合和集合的运算,并对康托尔集合论中的“概括原则”作了修正.概括原则可表述为:满足性质P的所有对象可以组成一个集合S,即S={x:P(x)},其中的P(x)意为“x具有性质P”.这就认定了任何性质可以决定一个集合,于是前述的F 和V名正言顺地成了集合,悖论也应运而生.

  在公理集合论的ZF系统中,用如下的“分离原则”取代了概括原则:若C是一个集合,则C中满足性质P的那些元素构成一个集合S={x:x∈C且 P(x)},即在C是集合的前提下,任何性质可以决定它的一个子集.公理化的结果是:只有正常集才能成为集合,异常集则不能,F和V都不是集合,罗素悖论和其他的集合论悖论得以避免.

  就公理集合论能避免已有的集合论悖论,并在此基础上可以进一步发展数学而言,它是成功的.遗憾的是,人们并不能证明公理集合论系统的相容性,即不能证明系统中一定不会推出逻辑矛盾.此外,现代数学中的某些结果需要使用“选择公理”,但这又将导致某些违背人们直觉的怪论(例如“分球怪论”).因此,公理集合论的处理方式,尤其是选择公理的使用,仍有进一步讨论的必要.

  罗素悖论的发现,也促进了对于悖论(包括语义学悖论)成因的深入思考.1905—1906年间,庞加莱在《数学与逻辑》一文中提出了悖论的根源在于“非直谓定义”的论断.所谓非直谓定义是指:借助于一个总体来定义一个概念(或对象),而这个概念(或对象)本身又属于这个总体.这种定义是循环的(罗素称为“恶性循环”),或者说是“自我涉及”的.例如,异常集“所有的非生物的集合F ”就是如此.因为,F是借助于“所有的非生物”这一总体来定义的,而F本身又是这一总体中的一员.考察语义学悖论,也会发现类似的“循环”或“自我涉及”的踪迹.例如,“说谎者循环”就是A,B两个人的话彼此循环,而格列林-纳尔逊悖论中的“自谓的”和“它谓的”定义,则涉及了形容词对于自身的线年,塔尔斯基(A.Tarski)在《形式化语言中的真概念》一文中,提出了“语言层次”的理论.虽然这一理论主要是针对形式语言的,但对于日常语言中的语义悖论研究也有重要意义.塔尔斯基认为,日常语言在语义上是封闭的:既包含了语言表达式,又包含了陈述这些语言表达式语义性质(例如“真”、“假”)的语句.这是语义悖论产生的根源.要建立实质上适当、形式上正确的关于“真句子”的定义,就必须对语言进行分层处理:被谈论的语句属于某一层次的语言(称为“对象语言”),而陈述该语句语义性质的语句则属于高一层次的语言(称为“元语言”).“说谎者悖论”就是因为断言了自身的真假,混淆了语言的层次而造成的.

  1975年,当代著名逻辑学家克里普克(S.A.Kripke)在《真理论纲要》一文中提出了解决悖论的新方案.其中的一个核心概念是“有根性”:要判断一个含有真值谓词(“真”或“假”)的语句,必须寻找这个语句的“根”——相应的不含真值谓词的语句.例如,要判断“‘净水是无色透明的’是真的”这句话的真假,就要看“净水是无色透明的”这句话对不对,后一句话不包含真值谓词,并且它的对错是可以判断的,因此,前一句话是有根的.只有有根的语句才可以判断其真假,无根的语句则不行.“说谎者悖论”和“说谎者循环”都是无根的,这是悖论的基本特征.

  新近的悖论研究受到了“情景语义学”的影响,语言逻辑学家注意到:许多语义悖论实际上不仅仅涉及语义,也与说话时的语境(包括语言使用者)等语用因素密切相关.以“说谎者悖论”为例,当某人说“我正在说谎”时,这意味着他在某种语境中表达这句话为真的断言.但是,“‘我正在说谎’是假的”这一语句,却不能在同样的语境中陈述,陈述它的是另一种语境.因此,悖论的根源不在于“自我涉及”,而是因为不同的语境.只要分清每一句话的语境,许多所谓的“悖论”就不再是真正的悖论了.

  设对于一类集合,A1={a11,a12,… a1i …},A2={a21,a22,… a2i …},……,Ai={ai1,ai2,… aij …}都满足条件aijAi (i=1,2,… j=1,2,…)但AiAi一切这类集合物成新集合A={A1,A2,… Ai,…) AiA,问AA?如果认为AA,则A应该不是自身集合的元素,即AA,如果AA,A就应是本集合的元素,即AA,岂非矛盾

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